디리클레 판정법 (Dirichlet's test )은 무한급수 의 수렴판정법 중 하나이다. 단조롭게 0으로 수렴하는 항들의 급수와 부분합이 유계 인 급수를 항별로 곱한 것이 수렴급수라는 것으로 서술된다. 작자 페터 구스타프 르죈 디리클레 의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널 》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées )에 게재되었다.[1]
교대급수판정법 은 이 판정법의 특수한 경우이다.
실수 열
{
a
n
}
,
{
b
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}
이 있을 때, 만약
a
n
≥
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
M
{\displaystyle \textstyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}
이 모든 양의 정수
N
{\displaystyle N}
에 대해 성립하게 하는 상수
M
{\displaystyle M}
존재
이라면, 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
는 수렴한다.[2] :182
S
N
=
∑
k
=
1
N
b
k
{\displaystyle \textstyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}b_{k}}
이라 하자.[2] 항별곱 급수에 대한 아벨 변환
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
a
k
b
k
=
a
n
+
p
(
S
n
+
p
−
S
n
)
+
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
−
1
(
a
k
−
a
k
+
1
)
(
S
k
−
S
n
)
{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}=a_{n+p}(S_{n+p}-S_{n})+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})(S_{k}-S_{n})}
을 통해 코시 수렴 판정법 의 전제조건이 성립함을 증명할 것이다.
먼저 항상
|
S
k
−
S
n
|
≤
2
M
{\displaystyle |S_{k}-S_{n}|\leq 2M}
이 성립한다
(
∵
|
S
N
|
≤
M
)
{\displaystyle (\because |S_{N}|\leq M)}
. 또한 임의의
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
에 대해,
N
{\displaystyle N}
이 있어
n
>
N
{\displaystyle n>N}
에 대해 항상
a
n
≤
ε
2
M
{\displaystyle \textstyle a_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}}
가 성립한다.
따라서 임의의
n
+
p
>
n
+
1
>
N
{\displaystyle n+p>n+1>N}
에 대해
|
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
a
k
b
k
|
≤
a
n
+
p
|
S
n
+
p
−
S
n
|
+
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
−
1
(
a
k
−
a
k
+
1
)
|
S
k
−
S
n
|
≤
2
M
(
a
n
+
p
+
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
−
1
(
a
k
−
a
k
+
1
)
)
=
2
M
⋅
a
n
+
1
≤
2
M
⋅
ε
2
M
=
ε
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|&\leq &a_{n+p}|S_{n+p}-S_{n}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})|S_{k}-S_{n}|\\&\leq &2M\left(a_{n+p}+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})\right)\\&=&2M\cdot a_{n+1}\\&\leq &2M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}\\&=&\varepsilon \end{array}}}
이상적분 [ 편집 ]
이상적분 에도 비슷한 판정법이 적용된다.
f
,
g
:
[
a
,
+
∞
)
→
R
{\displaystyle f,g:[a,+\infty )\to \mathbb {R} }
이 만약 두 조건
f
{\displaystyle f}
가 단조롭게 0으로 수렴
|
∫
a
t
g
(
x
)
d
x
|
≤
M
{\displaystyle \textstyle \left|\int _{a}^{t}g(x)\,dx\right|\leq M}
이 임의의 실수
t
>
a
{\displaystyle t>a}
에 대해 성립
을 만족한다면, 이상적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
는 수렴한다.
같이 보기 [ 편집 ]