디리클레 판정법

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디리클레 판정법(Dirichlet's test)은 무한급수수렴판정법 중 하나이다. 단조롭게 0으로 수렴하는 항들의 급수와 부분합이 유계인 급수를 항별로 곱한 것이 수렴급수라는 것으로 서술된다. 작자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)에 게재되었다.[1]

교대급수판정법은 이 판정법의 특수한 경우이다.

서술[편집]

실수\{a_n\},\{b_n\}이 있을 때, 만약

  • a_n \ge a_{n + 1}
  • \lim_{n\to\infty} a_n = 0
  • \textstyle\left|\sum_{n=1}^{N} b_n\right| \le M이 모든 양의 정수 N에 대해 성립

이라면, 급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n는 수렴한다.[2]

증명[2][편집]

\textstyle S_N = \sum_{k=1}^N b_k이라 하자. 항별곱 급수에 대한 아벨 변환

\sum_{k=n+1}^{n+p} a_kb_k = a_{n+p}(S_{n+p} - S_n) + \sum_{k=n+1}^{n+p-1}(a_k - a_{k+1})(S_k - S_n)

을 통해 코시 수렴판정법의 전제조건이 성립함을 증명할 것이다.

먼저 항상 |S_k - S_n| \le 2M이 성립한다(\because |S_N| \le M) . 또한 임의의 \varepsilon > 0에 대해, N이 있어 n > N에 대해 항상 \textstyle a_n \le \frac{\varepsilon}{2M}가 성립한다.

따라서 임의의 n+p > n+1 > N에 대해

\begin{array}{rcl}
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_kb_k\right|
& \le & a_{n+p}|S_{n+p} - S_n| + \sum_{k=n+1}^{n+p-1}(a_k - a_{k+1})|S_k - S_n| \\
& \le & 2M \left(a_{n+p} + \sum_{k=n+1}^{n+p-1}(a_k - a_{k+1})\right) \\
& =   & 2M \cdot a_{n+1} \\
& \le & 2M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} \\
& =   & \varepsilon
\end{array}

이상적분[편집]

이상적분에도 비슷한 판정법이 적용된다. f, g : [a, +\infty) \to \R이 만약 두 조건

  • f가 단조롭게 0으로 수렴
  • \textstyle\left|\int_a^t g(x) \,dx\right| \le M이 임의의 실수 t > a에 대해 성립

을 만족한다면, 이상적분 \textstyle\int_a^\infty f(x)g(x) \,dx는 수렴한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253-255.
  2. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 182쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.