적분의 점화식

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적분 미적분학에서 적분의 점화식점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다.[1] 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

적분의 점화식을 유도하는 원리[편집]

적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : 또는 )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

인 정수 에 대하여

의 형태로 나타내는 것이다.

적분의 점화식을 이용한 함수의 적분[편집]

점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 의 적분을 점화식을 사용하여 또는 에 대한 적분으로 나타내야 한다. 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 을 계산한다.[2]

예시[편집]

아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

코사인함수의 적분

일반적으로

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

n = 1, 2 ... 30인 경우의

라고 하자.

라고 치환하면

부분 적분을 이용하면

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

이 예시를 보충하기 위해 n = 5를 대입해 보면.

n=5, n=3을 대입하면

결과를 대입하면

여기서 C 는 적분상수이다.

지수함수의 적분

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.

라고 하자.

치환 적분을 하면

로 치환하면

부분 적분을 하면

n + 1n, nn – 1으로 바꾸면


따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

적분의 점화식의 표[편집]

유리함수[편집]

다음의 적분[3] 은 아래를 포함한다:

  • 선형 라디칼
  • 선형 인수 또는 선형 라디칼
  • 이차
  • 이차식 ()
  • 이차식 ()
  • (기약 다항식)
  • 기약 다항식의 라디칼
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식

지수법칙에 따라:

초월함수[편집]

다음의 적분[4] 은 아래를 포함한다:

  • 사인
  • 코사인
  • 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
  • x 의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
  • 사인 / 코사인과 지수함수의 곱
적분 적분의 점화식

공식을 결합하여 I n 의 개별적인 방정식을 얻을 수 있다.

그리고 J n :

적분 적분의 점화식
적분 적분의 점화식

참고 문헌[편집]

  1. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  3. http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list
  4. http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list

서지[편집]

  • Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.