그린 정리

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미적분학에서, 그린 정리(영어: Green’s theorem)는 평면 영역 위의 이중 적분과, 그 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한 정리이다. 스토크스 정리의 특수한 경우다.

정의[편집]

연속 미분 가능 함수 의 정의역 가 어떤 유계 영역폐포라고 하자. 또한, 경계선 가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립하며, 이를 그린 정리라고 한다.

만약 단일 연결 공간이라면, 는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 가 단일 연결 공간이 아니라면, 는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

그린 정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계에 대한 정리인 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다.

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평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.[1]

적분영역 는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

좌변[편집]

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

우변[편집]

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. George B., Thomas; Ross L., Finney (1999). 《Calculus and Analytic Geometry》 9판. ADDISON WESLEY. 1136쪽. ISBN 978-0-201-35036-4. 

외부 링크[편집]