그린 정리

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수학에서, 그린 정리(영어: Green’s theorem)는 평면 영역에서의 이중적분과, 그 영역의 경계선에서의 선적분 사이의 관계에 대한 정리이다. 스토크스 정리의 특수한 경우다.

정의[편집]

는 평면 R2 위의 조각적 미분가능(piecewise smooth)한 단순한 닫힌 곡선(simple closed curve)이라고 하고, 를 경계로 하는 영역이라고 하자. 를 포함하는 어떤 영역 어느 곳에서나 다변수 벡터함수 가 연속이고, 의 각 성분이 연속인 편도함수 를 가진다고 하자. 그러면

이다. 여기서 적분은 의 전체경계를 따라 수행되며, 은 적분 진행방향의 왼쪽에 위치한다. 즉, 적분 진행방향은 반시계방향이다.

그린 정리와 스토크스 정리의 차이점[편집]

그린 정리는 케빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다. 스토크스 정리는 곡면에서의 정리이고, 그린 정리는 평면에서로 국한된다.

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평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.[1]

적분영역 는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

좌변[편집]

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

우변[편집]

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. George B., Thomas; Ross L., Finney (1999). 《Calculus and Analytic Geometry》 9판. ADDISON WESLEY. 1136쪽. ISBN 978-0-201-35036-4.