연쇄 법칙

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연쇄법칙은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환적분이라 한다.

다변수 함수에 대한 연쇄법칙[편집]

aRn, g : RnRm, f : RmRp라 하자. 만약 ga에서 미분가능하고, fg(a)에서 미분가능하다면 fga에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x1, x2, …, xn) : RnRm , f(u1, u2,…, um) : RmRa에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = fg= f(g(x1, x2, …, xn))는 미분가능하고 미분은

편미분은

이다..