보흐너 적분

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함수해석학에서 보흐너 적분(Bochner積分, 영어: Bochner integral)은 바나흐 공간 값의 함수에 대하여 정의되는, 르베그 적분의 일반화이다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • -바나흐 공간
  • 측도 공간

그렇다면, 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 이다.

(여기서 지시 함수이다.)

단순 함수의 보흐너 적분은 다음과 같다.

임의의 함수 에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 이 존재한다면, 보흐너 적분 가능 함수라고 한다.

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 보흐너 적분은 다음과 같다.

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

보흐너 공간[편집]

보흐너 적분 가능 함수들의 -벡터 공간라고 하자. 그 위에 반노름

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

을 1-보흐너 공간(영어: Bochner space)이라고 한다.

[편집]

만약 일 경우, 값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

역사[편집]

잘로몬 보흐너가 도입하였다.[1]

각주[편집]

  1. Bochner, Salomon (1933). “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 20: 262–276. 

외부 링크[편집]