브라우너 공간

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함수해석학에서, 브라우너 공간(Brauner空間, 영어: Brauner space)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.

정의[편집]

라고 하자.

-국소 볼록 공간 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, -브라우너 공간이라고 한다.

  • 는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
  • 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.d
  • 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)
    임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 자연수 가 존재한다. (즉, 이다.)

성질[편집]

임의의 -프레셰 공간 연속 쌍대 공간 위에, 의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(영어: stereotype dual space)이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1][2]

즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

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국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간[편집]

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 함수열 균등 수렴한다.

그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간

측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 범함수열 균등 수렴한다.

그렇다면, 는 브라우너 공간이다.

매끄러운 다양체 위의 분포 공간[편집]

매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

  • 임의의 콤팩트 공간 에 대하여, 함수열 의 임의의 차수 도함수 위에서 균등 수렴한다.

이제, 이 위상 벡터 공간연속 쌍대 공간

분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 유계 집합 에 대하여, 범함수열 균등 수렴한다.

그렇다면, 는 브라우너 공간이다.

슈타인 다양체[편집]

이 슈타인 다양체(영어: Stein manifold)라고 하자. 에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. 에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 은 브라우너 공간이다.

또한, 를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. 의 지수형 정칙 함수(영어: exponential-type holomorphic function)의 공간 은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.[2]

역사[편집]

칼만 조지 브라우너 2세(영어: Kalman George Brauner, Jr.)가 이 개념을 최초로 연구하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  • Schaefer, Helmuth H. (1966). 《Topological vector spaces》. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6.