한-바나흐 정리

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함수해석학에서, 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의[편집]

실수 벡터 공간 위의 열선형 함수(劣線型函數, 영어: sublinear function)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • (동차성) 임의의 에 대하여,
  • (준가법성) 임의의 에 대하여,

예를 들어, 의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 의 부분 벡터 공간 위에 정의된 선형함수 가 열선형 함수 에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, 를 같은 열선형 함수에 지배당하는, 전체에 정의된 선형함수 로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 가 존재한다.

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사[편집]

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리가 정리의 특수한 경우를 증명하였고,[1] 헝가리 수학자 리스 머르첼1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Hochstadt, Harry (1980년 9월). “Eduard Helly, father of the Hahn–Banach theorem”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 2 (3): 123–125. doi:10.1007/BF03023052. ISSN 0343-6993. 
  2. Gȧrding, L. (1970). “Marcel Riesz in memoriam”. 《Acta Mathematica》 (영어) 124 (1): 1–11. MR 0256837. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]