배럴 공간

함수해석학에서 배럴 공간(영어: barreled space, 프랑스어: espace tonnelé)은 공간의 모든 배럴 집합이 영벡터의 근방인 하우스도르프 위상 벡터 공간이다. 위상 벡터 공간에서 배럴 집합 또는 배럴은 볼록, 균형, 흡수 그리고 닫힌 집합이다. 배럴 공간은 바나흐-스테인하우스 정리의 한 형태가 이 공간에 적용되기 때문에 연구되었다.

역사

니콜라 부르바키가 1950년에 도입하였다.

예시

• 반노름 공간에서 단위구는 배럴이다.
• 모든 국소 볼록 공간은 배럴 집합으로 이루어진 근방 기저를 가진다. 그렇지만 공간 자체는 배럴 공간일 필요는 없다.
• 프레셰 공간, 그리고 특히 바나흐 공간은 배럴 공간이지만, 일반적으로 노름 공간은 배럴 공간이 아니다.
• 몽텔 공간은 배럴 공간이다. 결과적으로, 몽텔 공간의 강한 쌍대는 배럴 공간이다 (왜냐하면 이것도 몽텔 공간기 때문이다).
• 베르 공간인 국소 볼록 공간은 배럴 공간이다.

정의

$K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. $K$-위상 벡터 공간 $V$ 속의 배럴(영어: barrel, 프랑스어: tonneau 토노^[*]) $B\subseteq V$는 다음 조건들을 만족시키는 부분 집합이다.

• 볼록 집합이다.
• 닫힌집합이다.
• (균형성) $\textstyle B\supseteq \bigcup _{a\in K}^{|a|\leq 1}aB$
• (흡수성) $\textstyle V=\bigcup _{a\in K}aB$

모든 배럴이 $0$의 근방을 이루는 국소 볼록 공간을 배럴 공간이라고 한다.

성질

하우스도르프 국소 볼록 공간 $X$와 연속 쌍대 $X'$에 대해서 다음 명제는 모두 동등하다:

• X는 배럴이다,
• 모든 $\sigma (X',X)$을 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 X'의 부분집합은 동등연속이다 (이것은 바나흐-스테인하우스 정리의 부분 역을 제공한다),
• 연속 쌍대 공간 X'의 모든 부분집합 A에 대해서, 다음의 성질은 동등하다: A는
  • 동등연속이다,
  • 상대적 약한 콤팩트이다,
  • 강한 유계이다,
  • 약한 유계이다,
• X는 강한 위상 $\beta (X,X')$을 지닌다,
• $X$에서 모든 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
• X의 0-근방 기저와 $E_{\beta }'$의 유계 집합의 기본족은 극성으로 서로 대응한다.

추가로,

• 모든 순차적 완전 준배럴 공간은 배럴 공간이다.
• 배럴 공간은 몽텔, 완전, 거리화 가능, 비순차적 베르같은, 또는 바나흐 공간의 유도한계일 필요는 없다.

함의 관계

모든 프레셰 공간은 배럴 공간이다. 그러나 배럴 공간이 아닌 노름 공간이 존재한다. 베르 공간인 국소 볼록 공간은 항상 배럴 공간이다.

바나흐 공간 ⇒ 프레셰 공간 ⇒ 배럴 공간 ⇒ 국소 볼록 공간 ⇒ 위상 벡터 공간

균등 유계성 원리

배럴 공간의 경우 다음과 같은 형태의 균등 유계성 원리가 성립한다.

배럴 공간 $V$와 국소 볼록 공간 $W$가 주어졌다고 하자. 또한, $V\to W$ 유계 작용소들의 집합 ${\mathcal {F}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• (점별 유계성) 임의의 $v\in {\mathcal {F}}$에 대하여, $\{Fv\colon F\in {\mathcal {F}}\}$는 유계 집합이다.
• ${\mathcal {F}}$는 동등 연속 함수족이다.
• ${\mathcal {F}}$는 균등 동등 연속 함수족이다.

준-배럴 공간

공간의 모든 베럴 유계형 집합은 $0$의 근방인 위상 벡터 공간 $X$은 준-배럴 공간이다. 어떤 집합이 $X$의 모든 유계 부분집합을 흡수하면 그 집합은 유계형 집합이다. 모든 배럴 공간은 준-배럴 공간이다.

For a 국소 볼록 공간 $X$과 연속 쌍대 $X'$에 대해서 다음 명제는 동등하다\:

• $X$가 준-배럴 공간이다,
• $X$의 모든 유계 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
• $\beta (X',X)$를 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 모든 $X'$의 부분집합은 동등연속이다.

참고 문헌

• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 65–75쪽. 
• Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. GTM 3. New York: Springer-Verlag. 60쪽. ISBN 0-387-98726-6. 
• S.M. Khaleelulla (1982). 《Counterexamples in Topological Vector Spaces》. GTM 936. Springer-Verlag. 28–46쪽. ISBN 978-3-540-11565-6. 

외부 링크

• “Barrelled space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Barreled topological vector space”. 《nLab》 (영어).