배럴 공간

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함수해석학에서, 배럴 공간(영어: barreled space, 프랑스어: espace tonnelé)은 공간의 모든 배럴 집합이 영벡터근방인 하우스도르프 위상 벡터 공간이다. 위상 벡터 공간에서 배럴 집합 또는 배럴볼록,균형,흡수 그리고 닫힌 집합이다. 배럴 공간은 바나흐-스테인하우스 정리의 한 형태가 이 공간에 적용되기 때문에 연구되었다.

역사[편집]

니콜라 부르바키가 1950년에 도입하였다.[1]

예시[편집]

정의[편집]

라고 하자. -위상 벡터 공간 속의 배럴(영어: barrel, 프랑스어: tonneau 토노[*]) 는 다음 조건들을 만족시키는 부분 집합이다.

  • 볼록 집합이다.
  • 닫힌집합이다.
  • (균형성)
  • (흡수성)

모든 배럴이 근방을 이루는 국소 볼록 공간배럴 공간이라고 한다.

성질[편집]

하우스도르프 국소 볼록 공간 와 연속 쌍대 에 대해서 다음 명제는 모두 동등하다:

  • X는 배럴이다,
  • 모든 을 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 X'의 부분집합은 동등연속이다 (이것은 바나흐-스테인하우스 정리의 부분 역을 제공한다),[2]
  • 연속 쌍대 공간 X'의 모든 부분집합 A에 대해서, 다음의 성질은 동등하다: A[2]
    • 동등연속이다,
    • 상대적 약한 콤팩트이다,
    • 강한 유계이다,
    • 약한 유계이다,
  • X강한 위상 을 지닌다,
  • 에서 모든 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
  • X의 0-근방 기저와 의 유계 집합의 기본족은 극성으로 서로 대응한다.[2]

추가로,

  • 모든 순차적 완전 준배럴 공간은 배럴 공간이다.
  • 배럴 공간은 몽텔, 완전, 거리화 가능, 비순차적 베르같은, 또는 바나흐 공간의 유도한계일 필요는 없다.

함의 관계[편집]

모든 프레셰 공간은 배럴 공간이다. 그러나 배럴 공간이 아닌 노름 공간이 존재한다. 베르 공간국소 볼록 공간은 항상 배럴 공간이다.

바나흐 공간프레셰 공간 ⇒ 배럴 공간 ⇒ 국소 볼록 공간위상 벡터 공간

균등 유계성 원리[편집]

배럴 공간의 경우 다음과 같은 형태의 균등 유계성 원리가 성립한다.

배럴 공간 국소 볼록 공간 가 주어졌다고 하자. 또한, 유계 작용소들의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

준-배럴 공간[편집]

공간의 모든 베럴 유계형 집합은 근방위상 벡터 공간 은 준-배럴 공간이다. 어떤 집합이 의 모든 유계 부분집합을 흡수하면 그 집합은 유계형 집합이다. 모든 배럴 공간은 준-배럴 공간이다.

For a 국소 볼록 공간 과 연속 쌍대 에 대해서 다음 명제는 동등하다\:

  • 가 준-배럴 공간이다,
  • 의 모든 유계 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
  • 를 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 모든 의 부분집합은 동등연속이다.

참고 문헌[편집]

  1. Bourbaki, Nicolas (1950). “Sur certains espaces vectoriels topologiques”. 《Annales de l’Institut Fourier》 (프랑스어) 2: 5–16. MR 0042609. Zbl 0042.35302. 
  2. Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350
  • Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 65–75쪽. 
  • Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. GTM 3. New York: Springer-Verlag. 60쪽. ISBN 0-387-98726-6. 
  • S.M. Khaleelulla (1982). 《Counterexamples in Topological Vector Spaces》. GTM 936. Springer-Verlag. 28–46쪽. ISBN 978-3-540-11565-6. 

외부 링크[편집]