해석학에서 동등 연속 함수족(同等連續函數族, 영어: equicontinuous family of functions)은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.
동등 연속 함수족[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
- 균등 공간
- 에서 로 가는 함수족
임의의 측근 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 가 존재한다면, 가 에서 동등 연속 함수족(영어: family of functions equicontinuous at )이라고 한다.[1]:TG X.10, Définition X.2.1
- 임의의 및 에 대하여,
모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족이라고 한다.
균등 동등 연속 함수족[편집]
마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 균등 공간
- 균등 공간
- 에서 로 가는 함수족
임의의 측근 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 가 존재한다면, 가 균등 동등 연속 함수족(均等同等連續函數族, 영어: uniformly equicontinuous family of functions)이라고 한다.[1]:TG X.11, Définition X.2.2
- 임의의 및 에 대하여, 만약 이라면 이다.
여기서 는 인 것이다. 만약 의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 를 어떤 양의 실수로 생각하며, 로 해석해도 좋다. ( 또한 마찬가지다.)
함의 관계[편집]
두 균등 공간 , 사이의 함수족 에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다.
개념 |
가 에 의존? |
가 에 의존? |
가 에 의존? |
정의
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연속 함수족 |
예 |
예 |
예 |
|
균등 연속 함수족 |
예 |
예 |
아니오 |
|
동등 연속 함수족 |
예 |
아니오 |
예 |
|
균등 동등 연속 함수족 |
예 |
아니오 |
아니오 |
|
여기서
그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
아르첼라-아스콜리 정리[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 콤팩트 하우스도르프 공간
- 균등 공간
- 연속 함수족
그렇다면, 함수 집합 위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다.
아르첼라-아스콜리 정리(영어: Arzelà–Ascoli theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:TG X.17, Théorème X.2.2
- 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- 는 동등 연속 함수족이다.
- 모든 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다.
마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 콤팩트 균등 공간
- 균등 공간
- 균등 연속 함수족
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:TG X.17, Théorème X.2.2
- 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- 는 균등 동등 연속 함수족이다.
- 모든 에 대하여, 는 콤팩트 집합이다.
다음과 같은 함수열을 생각하자.
이는 에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 에서 기울기들의 열 이 발산하기 때문이다.
동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(이탈리아어: Giulio Ascoli, 1843~1896)[2]와 체사레 아르첼라(이탈리아어: Cesare Arzelà, 1847~1912)[3]가 도입하였다.
참고 문헌[편집]
- ↑ 가 나 다 라 Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi:10.1007/978-3-540-34486-5.
- ↑ Ascoli, Giulio (1883). “Le curve limite di una varietà data di curve”. 《Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti》 (이탈리아어) 18: 521–586.
- ↑ Arzelà, Cesare (1893). “Un’ osservazione intorno alle Serie di funzioni”. 《Memorie della Reale Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna》 (이탈리아어) 5: 142–159.
외부 링크[편집]