극분해

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선형대수학함수해석학에서, 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다.

정의[편집]

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 이다.

  • 유계 작용소이다.
  • 이다.
  • 의 경우, 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
  • 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 에 대하여 이다.
  • 이다. (여기서 폐포이다.)

사실, 항상

임을 보일 수 있다.

성질[편집]

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 의 극분해 는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

폰 노이만 대수의 경우[편집]

로 생성되는 C* 대수의 원소이다. 로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), 로 생성되는 C* 대수의 원소이다.

이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

유한 차원의 경우[편집]

만약 가 유한 차원이며 가역 행렬이라면, 의 극분해 에서 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, 가 유한 차원일 때,

이므로

이다.

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유한 차원[편집]

임의의 복소수 유계 작용소 로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.

보다 일반적으로, 위의 대각 행렬

의 극분해는 다음과 같다.

무한 차원[편집]

르베그 공간

을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자

를 생각하자. 이 경우,

이므로 극분해

이다. 특히, 유니터리 작용소가 되지 못한다.

외부 링크[편집]