특잇값

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유클리드 공간 위의 선형 변환은 단위 공을 타원체로 대응시키며, 선형 변환의 특잇값들은 타원체의 주축 반지름들이다.

함수해석학에서, 특잇값(特異값, 영어: singular value)은 콤팩트 작용소와 그 에르미트 수반의 합성의 고윳값제곱근이다. 항상 양의 실수이다. 이를 통해, 임의의 콤팩트 작용소를 특잇값 분해(特異값分解, 영어: singular value decomposition, 약자 SVD)라는 특별한 꼴로 표현할 수 있다.

고윳값과 달리, 특잇값은 서로 다른 (특히, 서로 다른 차원의) 힐베르트 공간 사이의 작용소(예를 들어, 정사각이 아닌 행렬)에 대해서도 정의된다. 고윳값고유 벡터가 대응되는 것과 마찬가지로, 각 특잇값에는 왼쪽 특이 벡터(왼쪽特異vector, 영어: left singular vector) 및 오른쪽 특이 벡터(오른쪽特異vector, 영어: right singular vector)가 대응된다. 그러나 고유 벡터의 경우와 달리 특이 벡터는 좌우를 구별해야 한다.

정의[편집]

실수체 또는 복소수체라고 하자. 두 -힐베르트 공간 , 사이의 콤팩트 작용소

의 특잇값 및 왼쪽·오른쪽 특이 벡터의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

고윳값을 통한 정의[편집]

-힐베르트 공간 , 사이의 콤팩트 작용소

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 에르미트 수반

을 사용하여, 작용소

를 정의할 수 있다. 이들은 자기 수반 작용소를 이루며, 따라서 이 둘의 실수 고윳값들을 정의할 수 있다. 이들은 항상 음이 아닌 실수이다.

고윳값들 가운데, 0이 아닌 것들은 서로 일치하며, 그 중복수 또한 일치한다. 0의 경우, 다음과 같은 세 가지가 가능하다.

  • 경우 1: 둘 다 0을 고윳값으로 갖거나 둘 다 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 전자의 경우, 0의 중복수 역시 같다.
  • 경우 2: 둘 다 0을 고윳값으로 갖지만, 그 중복수가 서로 다르다.
  • 경우 3: 가운데 하나는 0을 고윳값으로 갖지만 다른 하나는 0을 고윳값으로 갖지 않는다.

이 경우, 특잇값들과 그 중복수는 각각 다음과 같다.

  • 경우 1: 의 특잇값은 또는 의 고윳값들의 제곱근들이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.
  • 경우 2: 의 특잇값은 (0을 포함하여) 또는 의 고윳값들의 제곱근들이다. 0이 아닌 고윳값의 경우, 그 중복수는 대응하는 고윳값의 중복수와 같다. 0의 경우, 그 중복수는 에서의 중복수와 에서의 중복수 가운데 더 작은 것과 같다.
  • 경우 3: 의 특잇값은 또는 의 고윳값들 가운데 0이 아닌 것들의 제곱근이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.

이 경우, 주어진 특잇값에 대응하는 왼쪽 특이 벡터에서의 고유 벡터이며, 주어진 특잇값에 대응하는 오른쪽 특이 벡터에서의 고유 벡터이다.

특잇값 분해를 통한 정의[편집]

라고 하자. 두 -힐베르트 공간 , 사이의 콤팩트 작용소

는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있으며, 이를 슈미트 표현(Schmidt表現, 영어: Schmidt representation)[1]:232, §1 또는 특잇값 분해라고 한다.

여기서

  • 이다.
  • 는 양의 실수들의 수열이며, 감소 수열이다. 즉, 이다.
  • 속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.)
  • 속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.)

이 경우, 특잇값이라고 하며, 왼쪽 특이 벡터, 오른쪽 특이 벡터라고 한다.

이에 따라, 에 다른 벡터들을 추가하여 각각 정규 직교 기저로 만들 수 있다. 그러나 이는 물론 일반적으로 유일하지 않다.

유한 차원의 경우[편집]

특히, 만약 , 가 유한 차원 힐베르트 공간일 경우, 임의의 성분 행렬 -선형 변환

을 정의한다. 유한 차원에서는 모든 작용소가 콤팩트 작용소이다.

이 경우, 만약 벡터 과 음이 아닌 실수 에 대하여

가 성립한다면, 특잇값이라고 하며, 에 대응하는 왼쪽 특이 벡터, 에 대응하는 오른쪽 특이 벡터라고 한다.

유한 차원의 경우, 특잇값 분해는 다음과 같은 행렬 분해를 정의한다.

여기서

  • 크기의 유니터리 행렬이다. (일 경우 이는 직교 행렬과 같다.)
  • 크기의 대각 행렬이며, 그 성분들은 모두 음이 아닌 실수이다. 즉, 예를 들어 이라면 다음과 같은 꼴이다.
  • 크기의 유니터리 행렬이다. (일 경우 이는 직교 행렬과 같다.)

이 경우, 의 대각 성분들이 의 특잇값들이며, 의 열벡터(=의 행벡터)들이 의 왼쪽 특이 벡터들이며, 의 행벡터들이 의 오른쪽 특이 벡터들이다.

특잇값 분해에서, 는 (특잇값들의 순열을 무시하면) 유일하게 결정되지만, 는 일반적으로 그렇지 않다.

기하학적 정의[편집]

같은 유한 차원의 두 실수 힐베르트 공간(=유클리드 공간) 사이의 실수 선형 변환의 특잇값들은 기하학적으로 해석될 수 있다.

구체적으로, 임의의 실수 선형 변환 은 (자명하게) 콤팩트 작용소이며, 이 경우 는 단위 타원체로 대응시킨다. 이 경우, 특잇값들은 이 타원체의 주축 반지름들과 같다.

성질[편집]

힐베르트 공간 사이의 콤팩트 작용소 의 특잇값 가운데 최대인 것은 작용소 노름과 같다.

특잇값의 수[편집]

행렬은 (중복수를 포함하여) 개의 특잇값들을 갖는다. 여기서, 특잇값들은 중복될 수 있다. 즉, 모든 개의 특잇값들이 죄다 같을 수 있다.

고윳값과의 관계[편집]

만약 -힐베르트 공간 전체에 정의된 콤팩트 자기 수반 작용소일 경우, 특잇값들은 고윳값들의 절댓값들이며, 각 특잇값에 대응하는 특이 벡터는 고유 벡터이다.

[편집]

다음과 같은 실수 4×5 행렬을 생각하자.

이 행렬의 특잇값 분해 는 다음과 같다.

즉, 의 특잇값들은 가운데 행렬에서 붉게 표시된 성분들인 이다.

특잇값 분해는 유일하지 않다. 예를 들어, 위와 같은 분해에서, 마지막 인자

로 교체할 수도 있다.

역사[편집]

특잇값의 개념은 에르하르트 슈미트가 1907년에 도입하였다.[2] 슈미트는 특잇값을 "고윳값"(독일어: Eigenwert)이라고 일컬었으나, 이후 1937년에 프랭크 스미디스(영어: Frank Smithies, 1912~2002)가 "특잇값"(영어: singular value)이라는 용어를 도입하였다.[3]

응용[편집]

행렬의 특잇값 분해는 신호 처리통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특히, 통계학에서 특잇값 분해를 통한 분석은 주성분 분석이라고 불린다.

참고 문헌[편집]

  1. Hinrichs, Aicke; Pietsch, Albrecht (2010년 2월). “p-nuclear operators in the sense of Grothendieck”. 《Mathematische Nachrichten》 (영어) 283 (2): 232–261. doi:10.1002/mana.200910128. 
  2. Schmidt, Erhard (1907). 《Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I. Teil: Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener》. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 63. 433–476쪽. ISSN 0025-5831. 
  3. Smithies, Frank (1937). “The eigenvalues and singular values of integral equations”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 43: 255–279. doi:10.1112/plms/s2-43.4.255. 

바깥 고리[편집]