타원 적분

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타원 적분(Elliptic integral)은 역 삼각 함수의 일반화로 볼 수 있으며, 보다 광범위한 문제에 대한 이해를 제공한다.

예로, 원의 길이는 매개 변수의 간단한 함수로 주어 질수있지만 타원의 호 길이 계산에는 타원 적분을 필요로 하게된다. 유사하게, 진자의 위치는 작은 각 진동에 대한 시간의 함수로서 삼각 함수에 의해 주어 지지만, 임의적으로 큰 변위에 대한 완전한 해에는 타원 적분의 사용이 필요하다. 전자기학 및 중력의 다른 많은 문제들도 타원 적분에 의해 해결된다.

타원 함수로 알려진 함수의 매우 유용한 클래스는 타원 적분을 반전시켜 삼각 함수의 일반화를 얻음으로써 얻어진다.

타원 함수(야코비 타원 함수바이어슈트라스 타원 함수 가 가장 일반적인 두 가지 형태의 클래스이다)는 수학의 다른 영역뿐만 아니라 수 이론에서 많은 심각한 문제를 분석하는 강력한 도구를 제공한다.

모든 타원 적분은 세 가지 "표준"유형으로 작성할 수 있다.

표준유형 3종[편집]

타원 적분의 세 가지 표준유형은 불완전한 유형과 완전한 유형을 각각 가지고 있다.

불완전한 표준유형 3종[편집]

의 불완전 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.

삼각 함수 형태 의 제 의 불완전 타원 적분은 다음 과 같다.

의 불완전 타원 적분은 다음과 같다.

완전한 표준유형 3종[편집]

타원 적분은 진폭 이므로, 따라서 일 때 '완전한'이라고 한다.

따라서 , 제 의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.


의 완전한 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.

종의 의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.

함수와의 관계[편집]

르장드르 관계식(Legendre's relation)


함께보기[편집]