분포 (해석학)

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함수해석학에서, 분포(分布, 문화어: 초함수[1], 영어: distribution)는 함수확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다.

정의[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n이 주어졌다고 하자. U 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간\mathcal C^\infty_0(U) 또는 \mathcal D(U)라고 쓰고, 그 원소를 U 위의 시험 함수(試驗函數, 영어: test function)라고 한다.

여기에 다음과 같은 위상을 주자. 함수열 f_i\in\mathcal D(U)f\in\mathcal D(U)수렴필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.

여기서 \operatorname{supp}지지 집합을 뜻하며, \xrightarrow{\text{unif}}균등 수렴을 뜻한다. 이 위상에 따라, 시험 함수 공간 \mathcal D(U)완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

\mathcal D(U)연속 쌍대 공간 \mathcal D'(U)분포 공간(分布空間, 영어: space of distributions)이라고 하고, 그 원소를 분포(分布, 영어: distribution)라고 한다. 분포 F 및 시험 함수 f\in\mathcal D(U)에 대하여, F(f)는 보통 다음과 같이 표기한다.

F(f)=\int_UF(x)f(x)\,d^nx

물론 x\in U에 대하여 F(x)라는 대상은 엄밀히 정의되지 않으므로 우변의 표기법은 단순히 표기법에 불과하다.

연산[편집]

지지 집합[편집]

분포 F\in\mathcal D'(U)지지 집합(支持集合, 영어: support) \operatorname{supp}F은 다음과 같이 정의된다. x\not\in\operatorname{supp}F라는 것은 다음 조건과 동치이다.

분포의 지지 집합은 (열린집합들의 합집합의 여집합이므로) 항상 U 속의 닫힌집합이다.

분포 F\in\mathcal D'(U)특이 지지 집합(特異支持集合, 영어: singular support) \operatorname{sing\,supp}F은 다음과 같이 정의된다. x\not\in\operatorname{sing\,supp}F라는 것은 다음 조건과 동치이다.

분포의 특이 지지 집합 역시 U 속의 닫힌집합이다.

특이 지지 집합과 관련된 개념으로 파면 집합이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.

국소화[편집]

열린집합 U 위에 정의된 분포 F\in\in\mathcal D'(U)와 열린 부분 집합 V\subseteq U가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 시험 함수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.

\iota_{VU}\colon\mathcal D(V)\hookrightarrow\mathcal D(U)
\iota_{VU}\colon f\mapsto\left(x\mapsto\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}\right)

FV에 대한 제한(영어: restriction)은 다음과 같다.

F|_V\in \mathcal D'(V)
F|_V\colon f\mapsto F(\iota_{VU}f)

이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간을 이룬다.

일반적으로, 분포 F\in\mathcal D'(U) 및 점 x\in U가 주어졌을 때, 분포의 x에서의 값 F(x)는 정의할 수 없다. 다만, 만약 x\not\in\operatorname{sing\,supp}F일 경우, F(x)를 해당하는 매끄러운 함수의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 과 마찬가지로, Fx에서의 을 정의할 수 있다.

미분[편집]

부분 적분 공식에 따라, 분포의 미분은 다음과 같이 정의된다.

\frac\partial{\partial x^i}F\colon f\mapsto -F\left(\frac\partial{\partial x^i}f\right)

이를 일반화하여, 임의의 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n에 대하여 분포 F의 미분 \partial^\alpha F를 정의할 수 있다.

\partial^\alpha F\colon f\mapsto(-1)^{|\alpha|}F(\partial^\alpha f)

곱셈[편집]

두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다.[2] 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 분포의 곱셈을 정의할 수 없다.

  • 쌍선형이다.
  • 곱셈 법칙이 성립한다.
  • 두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다.

예를 들어, 실수선 위의 단위 계단 함수

\theta(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>1\end{cases}

를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수 n에 대하여

\theta=\theta^n

가 성립한다. 양변에 곱셈 법칙을 적용하고, n>1이라면

\delta=n\theta^{n-1}\delta=n\theta\delta

가 된다 (\delta디랙 델타 분포). 이는 임의의 n>1에 대하여 성립하므로, \delta=n\theta\delta=0이 되어 모순이다.

다만, 두 분포의 파면 집합이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다.[3]:Theorem 13 특히, 두 분포 가운데 하나가 매끄러운 함수라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 F\in\mathcal D'(U)f\in \mathcal C^\infty(U)에 대하여,

fF\colon g\mapsto F(fg)

이에 따라, \mathcal D'(U)가환환 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군을 이루며, 나아가 가환환층 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군층을 이룬다.

푸리에 변환[편집]

시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 슈바르츠 함수를 사용하면, 조절 분포라는, 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간을 얻는다.

성질[편집]

분포 공간의 위상[편집]

분포 공간 \mathcal D'(U)연속 쌍대 공간이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.

함수 공간의 매장[편집]

U 위의 국소 적분 가능 함수(영어: locally integrable function)란 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon U\to\mathbb R를 말한다.

모든 연속 함수와 임의의 p에 대하여 Lp 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을 \mathcal L^1_{\text{loc}}(U)로 쓰자. Lp 공간과 마찬가지로, 임의의 f,g\in\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)에 대하여 f-g거의 어디서나 0인 경우 f\sim g로 정의하고,

L^1_{\text{loc}}(U)=\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)/\sim

으로 정의하자.

국소 적분 가능 함수 f에 대하여, 대응하는 분포 T_f\in\mathcal D'(U)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

T_f\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R
T_f\colon g\mapsto\int_Ufg

(이는 항상 연속 함수라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환

T\colon L^1_{\text{loc}}(U)\hookrightarrow\mathcal D'(U)

을 정의한다.

측도 공간의 매장[편집]

U 위의 임의의 라돈 측도 \mu에 대하여, 대응하는 분포 T_\mu\in\mathcal D'(U)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

T_\mu\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R
T_\mu\colon g\mapsto\int_Ug\,d\mu

반대로, 분포 F\in\mathcal D'(U)가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.

\forall f\in\mathcal D(U)\colon(\forall x\in U\colon f(x)\ge0)\implies F(f)\ge0

그렇다면, T_\mu=f가 되는 라돈 측도 \mu가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.

하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, 디랙 델타 분포의 미분 \delta'은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.

연속 함수로의 표현[편집]

열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 임의의 분포 F\in\mathcal D'(U)는 유한 개의 다중지표연속 함수(\alpha_1,f_1),\dots,(\alpha_k,f_k)로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

F=\sum_{i=1}^k\partial^{\alpha_k}f_k

다시 말해, 분포 공간은 연속 함수들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간이다.

[편집]

함수와 측도[편집]

모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 \mu_+-\mu_- 역시 분포를 이룬다.

디랙 델타 함수와 그 도함수[편집]

실수선 위에 다음과 같은 연속 함수를 생각하자.

f(x)=\max\{x,0\}

이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.

  • f'(x)단위 계단 함수이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
  • f''(x)=\delta(x)디랙 델타 분포이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, 라돈 측도이며, 다음과 같다.
    \int\delta(x)g(x)=g(0)
  • f''(x)=\delta'(x)는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 라돈 측도조차 아니며, 다음과 같다.
    \int\delta'(x)g(x)=-\int g'(x)\delta(0)=-g'(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)
  • 계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.
    \int\delta^{(n)}(x)g(x)=(-1)^ng^{(n)}(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)

코시 주요값[편집]

실수선 위에, f(x)=x(\ln|x|-1)연속 함수를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.

관련 개념[편집]

사토 초함수(영어: Sato hyperfunction)는 분포와 유사하지만, 정칙 함수를 기반으로 하는 이론이다.

콜롱보 대수(영어: Colombeau algebra)는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.

흐름(영어: current)은 분포의 개념을 미분 형식으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람이 도입하였다. n차원 유클리드 공간에서 n차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체에서는 이는 성립하지 않는다.

응용[편집]

모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.

역사[편집]

편미분 방정식의 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 그린 함수와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요가 대두되었다. 세르게이 리보비치 소볼레프는 1936년에 2차 쌍곡 편미분 방정식을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다.[4] 이후 1950년에 로랑 슈바르츠는 분포의 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, 또 "분포"(프랑스어: distribution 디스트리뷔시옹[*])라는 용어를 고안하였다.[5][6] 1954년에 슈바르츠는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. “초함수 (distribution, generalized function )”. 《과학백과》. 북한과학기술네트워크. 
  2. Schwartz, L. (1954). “Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 239: 847–848. Zbl 0056.10602. 
  3. Brouder, Christian; Nguyen Viet Dang; Hélein, Frédéric (2014년 11월 7일). “A smooth introduction to the wavefront set”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 47 (44): 443001. arXiv:1404.1778. doi:10.1088/1751-8113/47/44/443001. 
  4. Soboleff, S. (1936), “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales”, 《Математический сборник》 1 (1): 39–72, JFM 62.0568.01, Zbl 0014.05902 
  5. Schwartz, Laurent (1950). 《Théorie des distributions. Tome 1》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1091. 파리: Hermann et Compagnie. Zbl 0037.07301. 
  6. Schwartz, Laurent (1951). 《Théorie des distributions. Tome 2》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1122. 파리: Hermann et Compagnie. Zbl 0042.11405. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]