분포 (해석학)

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수학해석학에서 분포(distribution)는 함수확률 분포 등을 일반화한 것이다. 모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 함수가 있다.

정의[편집]

여기에서는 Rn열린 부분집합 U 상의 실변수 분포를 정의한다. 아래의 정의를 적절히 약간만 고치면 복소변수 분포를 정의하거나 Rn을 임의의 매끈한 다양체로 대체할 수 있다. 먼저 U 상의 시험함수(test function)를 무한번 미분가능한 콤팩트 지지 함수 φ : U → R로 정의하자. 이때 U 상의 시험함수들의 집합 D(U)는 실벡터공간이 된다. 여기에 추가로 D(U)에 적절한 위상을 주어 이를 완비 위상벡터공간으로 만들 수 있다. (보다 구체적으로는 LF-공간이 된다.)

이때, D(U)의 연속적 쌍대공간 D'(U)의 원소를 분포라 한다.

함께 보기[편집]