이산 푸리에 변환

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이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, DFT)은 이산적인 입력 신호에 대한 푸리에 변환으로, 디지털 신호 분석과 같은 분야에 사용된다.

이산 푸리에 변환은 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform,FFT)을 이용해 빠르게 계산할 수 있다.

이산 푸리에 변환을 논하기 전에 먼저 푸리에 변환식을 보자. 시간 연속적 신호(continuous-time signal) 의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

여기서 tωn-차원 벡터들이고, t · ω 는 벡터들의 내적(dot product)이다.

따라서, 미적분학이 필요하다. 반면에 DFT는 무한 적분을 유한 합으로 대체한다. 신호 x의 DFT는

X(ωk): 주파수 ωk 에서 x 의 스펙트럼

x(tn): 시간 tn에서 입력 신호의 진폭(amplitude, 실수 또는 복소수)

tn : nT = n 번째 샘플링 instant(sec) n:양의 정수

ωk  : kΩ= k 번째 주파수 샘플 (rad/sec)

Ω: 2π/NT = radian-주파수 샘플링 간격 (rad/sec)

T : 샘플링 간격 (sec)

N = 시간 샘플 수 또는 주파수 샘플 수(number of samples)


미적분학은 DFT(또는 우리가 보게 될 그 역)를 정의하는 데 필요하지 않으며, 유한합의 한계를 사용하면 무한대에 어려움을 겪지 않아도 된다(실제로 은 유한하며, 이는 항상 참이다). 또한 디지털 신호처리 분야에서 신호와 스펙트럼은 샘플링된 형식으로만 처리되므로 어쨌든 DFT가 실제로 필요하다(가능한 경우 FFT를 사용하여 구현). 요약하면 DFT는 푸리에 변환보다 수학적으로 더 간단하고 실제 계산과 관련이 깊으며, 동시에 기본 개념은 동일하다.

정의[편집]

개의 이산적인 복소수 신호 들을 복소수 값 으로 변환하는 이산 푸리에 변환식은 T=1로 두면, (1)식으로부터 다음과 같이 정의된다.

또한 역변환(inverse discrete Fourier transform, IDFT)은 다음과 같이 정의된다.

특성(Properties)[편집]

선형성(Linearity)

시간 및 주파수 반전(Time and frequency reversal)

시간 켤레(Conjugation in time)

실수부와 허수부(Real and imaginary part)

직교성(Orthogonality)

플란케렐 정리와 파세발 정리(The Plancherel theorem and Parseval's theorem)

주기성(Periodicity)

이동정리(Shift theorem)

원형 합성곱 정리 및 상호 상관 정리(Circular convolution theorem and cross-correlation theorem)

컨볼루션 정리의 이중성(Convolution theorem duality)

삼각 보간 다항식(Trigonometric interpolation polynomial)

유니타리 DFT(The unitary DFT)

역 DFT를 DFT로 표현하기(Expressing the inverse DFT in terms of the DFT)

고유치와 고유벡터(Eigenvalues and eigenvectors)

불확정성 원리(Uncertainty principles)

실수 및 순수 허수 신호의 DFT(DFT of real and purely imaginary signals)