코시-코발렙스카야 정리

수학에서, 코시-코발렙스카야 정리(Cauchy-Ковалевская定理, 영어: Cauchy–Kovalevskaya theorem)는 해석적 편미분 방정식의 초기 조건 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의

$K$가 실수체 또는 복소수체라고 하고, $V$와 $W$가 $K$에 대한 벡터 공간이라고 하자. $U\subset V\times W$가 0의 근방이라고 하고, $A_{1},\dots ,A_{n-1}\colon U\to \operatorname {End} (V)$가 해석함수라고 하자. 또한, $b\colon U\to V$가 해석함수라고 하자.

그렇다면, 미지의 함수 $f\colon W\to V$에 대한 다음과 같은 초기 조건 문제는 항상 원점의 근방에서 해를 갖는다.

$\partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)$

$f|_{x_{n}=0}=0$

즉, 원점의 어떤 근방 $N\subset W$에 대하여, 위 조건들을 만족시키는 함수 $f\colon N\to V$가 존재한다.

이 정리에서 $A_{i}$ 및 $b$는 해석함수여야 한다. 만약 이를 매끄러운 함수로 약화시키면 이 정리는 성립하지 않는다.

역사

오귀스탱 루이 코시가 특수한 경우를 1842년 증명하였고, 소피야 코발렙스카야가 이를 1875년 일반화하였다.

참고 문헌

• Folland, Gerald B. (1995). 《Introduction to Partial Differential Equations》. Princeton University Press. ISBN 0-691-04361-2. 
• Hörmander, L. (1983). 《The analysis of linear partial differential operators I》. Grundl. Math. Wissenschaft. 256. Springer. ISBN 3-540-12104-8. MR 0717035. 

외부 링크

• Nakhushev, A.M. (2001). “Cauchy-Kovalevskaya theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy-Kovalevskaya theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.