라돈-니코딤 정리

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측도론에서, 라돈-니코딤 정리(영어: Radon–Nikodym theorem)는 어떤 가측 공간에 대한 시그마-유한 측도(-finite measure)가 존재하고 이 유한측도에 대해 연속인 또다른 시그마-유한측도가 동일한 공간에 존재할 경우 이 둘의 관계를 나타내는 가측 함수가 존재한다는 정리이다.

정의[편집]

라돈-니코딤 정리에 따르면, 가측 공간 에 대한 시그마-유한 측도 가 또다른 시그마-유한 측도 에 대해 연속일 경우, 0 또는 양의 값을 갖는 에 대한 가측 함수 가 존재하며 다음 식이 성립한다.

이 가측 함수 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym derivative)라고 하며, 로 표기한다.

라돈-니코딤 도함수[편집]

위 식을 만족하는 함수 -공집합에 대해서까지 정의 가능한 단일한(unique) 함수이며, 따라서 만약 와 동일한 성질을 같는 또다른 함수 가 존재할 경우 측도 하에서 거의 확실하게 이다. 로 표기하는 경우도 많은데, 이는 가 일반미적분의 도함수와 유사한 성질을 가지며 한 측도 하에서 나타나는 확률밀도가 다른 측도로 넘어갈 때 갖는 변화율을 의미한다는 것을 암시한다.

성질[편집]

측도 가 또다른 측도 에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

에 대해 연속이고 에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

가 서로에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

에 대해 연속이고 함수 에 대해 적분가능할 경우 다음이 성립한다.

가 유한한 부호측도(signed measure) 또는 유한한 복소측도(complex measure)일 경우 다음이 성립한다.

역사[편집]

1913년에 요한 라돈유클리드 공간의 경우에 대하여 증명하였으며,[1] 이를 오톤 마르친 니코딤(폴란드어: Otton Marcin Nikodym)이 1930년에 일반적인 가측 공간에 대하여 일반화하였다.[2]

응용[편집]

라돈-니코딤 정리는 확률론에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 확률측도를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 조건부 기댓값의 존재성을 증명한다.

금융공학에서는 기르사노프 정리를 통해 실제측도에서 위험중립측도를 도출해내는 데에 라돈-니코딤 정리가 쓰이기도 한다. 파생상품의 경우 대부분 위험중립측도가 존재해야만 적정가격을 구할 수 있기 때문에 위험중립측도가 파생상품 가격결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

참고 문헌[편집]

  1. Radon, J. (1913). “Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen”. 《Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Sitzungsberichte, Abteilung IIa: Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie und Technik》 (독일어) 112: 1295–1438. JFM 44.0464.03. 
  2. Nikodym, O. (1930). “Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 15: 131–179. JFM 56.0922.01. 
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.