지연미분방정식

수학에서 지연미분방정식(delay differential equations, DDEs)은 특정한 시간에서의 미지의 함수의 도함수가 이전의 함숫값들의 항들로 나타내어지는 미분 방정식의 일종이다.

$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$에 대한 시간-지연방정식에 대한 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x_{t})$

이때 $x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}$는 이전의 해의 자취를 나타낸다. 이 방정식에서, $f$는 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}$에서 $\mathbb {R} ^{n}\,$로의 함수 연산자이다.

지연미분방정식의 예

• 연속지연

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,{\rm {d}}\mu (\tau )\right)$

• 이산지연

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dotsc ,x(t-\tau _{m}))$ for $\tau _{1}>\dotsb >\tau _{m}\geq 0$.

• 이산선형지연

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})$

단, $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$.

• 팬터그래프 방정식

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),$

이때 a, b, λ는 상수이고 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반화된 형태는 기차의 팬터그래프의 이름을 따서 지어졌다.

외부 링크

• (영어) Scholarpedia: Delay-differential equation
• (영어) Delay differential equations in single spicies dynamics