헬름홀츠 방정식

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평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 는 블루 지역에서 제로를 의미한다.
다음 실수영역이며, 는 비등차(inhomogeneous) 헬름호츠 방정식의 해이다

수학에서, 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의[편집]

차원 유클리드 공간 위에 함수 을 생각해 보자. 그렇다면 에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

여기서 라플라스 연산자이고, 는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식[편집]

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

.

여기서 베셀 함수다. 만약 가 원점 에서 연속적이려면 (은 원점에서 발산하므로) 이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식[편집]

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

.

여기서 구면 베셀 함수이고, 구면 조화 함수다.

응용[편집]

이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 이다.

차원 그린 함수 인 그린 함수
2
3
n>2

여기서

()

는 반지름이 1인 차원 초구의 (초)면적이고, 감마 함수다. 베셀 함수의 하나다. 인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

참고 문헌[편집]