나비에-스토크스 방정식

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밀레니엄 문제

나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 NS방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 클로드 루이 나비에조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였다.

활용[편집]

날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개주변의 유체흐름 그리고 은하안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산등을 연구하는데 사용되고 있다.

나비에-스토크스 문제[편집]

이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 이것을 Navier–Stokes existence and smoothness 문제라 한다. 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 문제를 해결하는데 US$1,000,000의 상금을 내 걸었다.

공식[편집]

나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 컨벤션을 사용해 쓴 것이다.

\frac{ \partial u_i }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial u_i }{ \partial x_j }
 = 
f_i -\frac{ 1 }{ \rho } \frac{ \partial p }{ \partial x_i } + \nu \frac{ \partial^2 u_i }{ \partial x_j \partial x_j }

식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의

u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성계수 이다.



위식을 벡터를 이용하여,


\frac{ \partial \boldsymbol{u} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{u} \cdot \nabla )\boldsymbol{u}
 = 
\boldsymbol{f} -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \triangle \boldsymbol{u}

로 쓸 수도 있다.

\nabla델 (연산자)이다.

방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.