오일러 방정식

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유체 동역학에서, 오일러 방정식(Euler's equations)은 비압축성(incompressible), 비점성(invisid) 흐름을 다루는 미분방정식이다. 레온하르트 오일러의 이름을 따라 명명되었다.

나비에-스토크스 방정식에서 점성열전도가 없는 특수한 경우에 해당한다. 오일러 방정식은 유체의 질량, 운동량에너지보존을 나타낸다.

정의[편집]

오일러 보존 방정식은 다음과 같다.

3차원에 대한 질량 보존(연속) 방정식

 {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0

운동량 보존 방정식

 {\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0

에너지 보존 방정식

 {\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0

이 외에도 기계일 보존 방정식 등 여러가지 보존 방정식이 있다.


여기에서,

  •  E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2 는 단위 부피 당 총 에너지다. (여기서  e 는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지다.)
  •  \mathbf u는 유동 속도이다
  •  p 는 유체의 압력이다.
  •  \rho 는 유체의 밀도이다.

두 번째 식에는 이차 텐서발산이 포함되어 있는데, 이 식을 아래첨자를 이용하여 쓰면 다음과 같다.

 {\partial \rho u_j \over \partial t} + {\partial \rho u_i u_j \over \partial x_i} + {\partial p \over \partial x_j} = 0

위의 식들은 질량, 운동량 3개 성분 및 에너지보존을 나타낸다. 따라서 방정식은 5개이고 미지수는 6개이다. 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 방정식이 하나 더 필요한데, 이것이 상태 방정식이라고 불리는 식이다.

밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 (stiff equation), 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.