유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, 영어: homogeneous incompressible Euler's equations)은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.
리만 계량을 갖춘 경계다양체
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장
![{\displaystyle p\colon \mathbb {R} \times M\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2835c74bab784bce12c37d109b405e2c7cec98ff)
![{\displaystyle p\colon (t,x)\mapsto p(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e7422fa07733e3803de084be37ba28245e74b)
과 시간 의존 벡터장
![{\displaystyle u\colon \mathbb {R} \times M\to \mathrm {T} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb98f330f929b23c3d9ff275d23f237532dfe79)
![{\displaystyle u\colon (t,x)\mapsto u(t,x)\in \mathrm {T} _{x}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f909a10917f9a002d7ca48f0705fdbd02de9151d)
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.[1]:Example 3[2]:90, §3.2, (3.22)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla _{u}\right)u=-(\mathrm {d} p)^{\sharp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e801b50eeedb314cd7336d9fdfb4dfe3e853a459)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{u}\operatorname {vol} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18d6cf06899e6307dcf5f5ffbd5ce37712f297f)
![{\displaystyle u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial _{M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa863d1bd294e4504455106327045ae39ea2d61)
여기서
은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉,
는 스칼라장
의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다.
은 리만 계량
로 정의된 부피 형식이다. (만약
이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.)
는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다.
- 방정식
은 벡터장
의 발산이 0임을 뜻한다.
은 경계다양체
의 경계이다.
은 경계
의 접다발이다.
은 그 단면의 집합이며, 이는
의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
은 경계다양체
위에 정의된 벡터장
가
의 경계
에서 경계와 평행함을 뜻한다.
는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는
의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수
에 대하여
와 같이 치환하더라도
의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장
가 주어지면),
는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.
물리학적 해석[편집]
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.
기호 |
물리학적 해석 |
단위
|
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd) |
유체가 존재하는 공간 |
[길이]
|
![{\displaystyle \partial M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8456299e2b600f44f5aa08920be090af1b35e013) |
유체가 존재하는 공간의 벽 |
[길이]
|
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc) |
시간 |
[시간]
|
![{\displaystyle u(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be239c208c6990a3ebbb9ced6fdf29aa42a83895) |
시각 에서, 위치 에서의 유체의 속도 |
[길이] [시간]−1
|
![{\displaystyle p(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a861784491b48735e28591b1b30c71ff8cc2c7fa) |
압력 ÷ 밀도 |
[길이]2 [시간]−2
|
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla _{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fe91d96ad33aa2ace9bab28da7c068d8670e69) |
물질 미분(영어: material derivative) . 공간의 절대 좌표 대신, 공간 속을 움직이는 주어진 유체 입자에 대한 미분 |
[시간]−1
|
|
유체의 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙. 즉, 단위 부피 속의 유체 입자의 가속도는 이에 가해진 힘 ÷ 질량에 비례함
|
|
유체의 소용돌이도(와도, 渦度, 영어: vorticity)가 0임. 즉, 소용돌이가 존재하지 않음
|
|
유체가 벽에 힘을 가하지 않음
|
물리학에서는 보통 압력
를 중력 퍼텐셜
와 질량당 일
로 구분한다.
![{\displaystyle p(t,x)=\phi (t,x)+w(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e97299afd48add26f5ba633c75186c349749a1)
즉,
![{\displaystyle -(\mathrm {d} p)^{\sharp }=-(\mathrm {d} w)^{\sharp }+g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398c3f64d75e70b7a9c4ec6a861fbb61a8d7c72f)
이다. 여기서
는 중력 퍼텐셜
에 대응하는 중력장이다.
측지선 방정식으로의 형태[편집]
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.[2]:90, Remark Ⅱ.3.6
구체적으로,
이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고,
의 자기 미분 동형
![{\displaystyle f\colon M\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e30dcf49b646b2ad8778c1bd23cca2350a1a1e7)
![{\displaystyle f(\partial M)\to (\partial M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d35c6bb61448a4fa1b2280c0d888ca193f07c8)
들의 공간
![{\displaystyle \operatorname {Diff} (M)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6c3eb0e9e00371006bcb3cf7b0a5bc93df34b1)
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는
위의 벡터장의 리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {Vect}}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ba120ed2c62286728c28c80dc2cea42a6c21c5)
이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터
위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.
가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군
![{\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)\subseteq \operatorname {Diff} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49597c3f298d149e668d86078f5e247f891664a7)
![{\displaystyle \operatorname {SDiff} (M)=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{*}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd947739028bec4ac0c5c1e734593f64c6555c22)
이다. 여기서
은 리만 계량
로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는
![{\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)=\{u\in {\mathfrak {Vect}}(M)\colon {\mathcal {L}}_{u}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|,\;u\upharpoonright \partial M\in {\mathfrak {Vect}}(\partial M)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc70115e36dbc6a39ff3afa8386c25099b77b74)
이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.
![{\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509cbbb9246bba4eef9114eb9d8db03d491e027b)
여기서
는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간
의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.
이제,
위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.
![{\displaystyle \langle v|v\rangle ={\frac {1}{2}}\int _{M}g(v,v)\,\left|\operatorname {vol} \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57a6fd5f942a70a845d8eb5f0f1d2a650176cf7)
이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군
위의 리만 계량을 정의한다.
이 경우, 오일러 방정식은
위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle \phi (0,x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2855b28ca55cd7f8928bc4fee0e7b8166d9d8b92)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\phi (t,x)=u(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97e73911c47eb2d4052d9117daeb2741c565315)
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가
였던 유체 입자의, 시각
에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
![{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Diff} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb2339ca85e9c1a06f6552846ef22403fe730dd)
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
![{\displaystyle u\in {\mathfrak {SVect}}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62041ecd8269fad88b65286b64e2627aca51a827)
이므로
![{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {SDiff} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062554cc6173bb0eebf503e8006419162dccf246)
이다. 첫째 오일러 방정식은
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x)=-(\mathrm {d} p|_{t,\phi (t,x)})^{\sharp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79388c2e823df42fe1dcf56b074f49a6ba1f390)
인데, 항상 부분 적분에 따라
![{\displaystyle \int _{M}\langle \mathrm {d} p,v\rangle =0\qquad \forall v\in {\mathfrak {SVect}}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5be06445416c375a515d2a39693ec8317019d5f)
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
![{\displaystyle \nabla _{u}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8240c450257aa3907b0233ba402162288130efec)
을 함의한다. 여기서
는 프레셰 다양체
위의,
방향의 공변 미분이다.
해밀턴 방정식으로의 형태[편집]
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.[2]:91–95, §Ⅱ.3.3
이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자.
의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)
![{\displaystyle {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509cbbb9246bba4eef9114eb9d8db03d491e027b)
이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.[1]:(1.95)
![{\displaystyle \{\alpha _{i}(x),\alpha _{j}(y)\}=(\partial _{j}\alpha _{i}-\partial _{i}\alpha _{j})\delta (x-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b1799df89943953cfe53b7b1ae4962b502b868)
그렇다면, 여기에는
위의 양의 정부호 쌍선형 형식
![{\displaystyle \langle u,u'\rangle =\int _{M}g(u,u')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5477dda69c508d0a677e4003009b73deb4f27ffc)
으로부터 자연스러운 이차 형식[2]:91, Lemma Ⅱ.3.7
![{\displaystyle H\colon \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726cf041f851474de248aafb9959571a2a7bc164)
![{\displaystyle H([\alpha ])=\int _{M}g^{-1}(\alpha ,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2cfbb42555e8d1ab00d7ae4c311e1fda35ac38)
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.[2]:92, (Ⅱ.3.24)[1]:(1.93), Example 3
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[\alpha ]=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}[\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d30b1648dd0428ae2e01f2107a766df4768c26)
여기서
은
위의 1차 미분 형식의 동치류이다.
은 (음악 동형에 대한) 벡터장
의 발산이 0인 (
) 유일한 대표원
이다.
는 벡터장
에 대한 리 미분이다.
구체적으로, 이 방정식은
에 정의된다. 이를
위에 제약(영어: constraint)을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우,
인 임의의 1차 미분 형식
에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.[2]:92, (Ⅱ.3.25)[1]:(1.94), Example 3
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\alpha (t,x)=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}\alpha (t,x)-\mathrm {d} p(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0290e8fbd70a41104e0a98b8c41b5a3715068a)
여기서
은
의 제약을 위한 보정항이다.
이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다.[2]:92, Corollary Ⅱ.3.8 즉, 속도장
에 대하여 음악 동형으로
![{\displaystyle \alpha =u^{\flat }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1733dde6d9a2f8a03bec5780221cd0ad8e911a5a)
로 놓으면,
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u=-\nabla _{u}u-(\mathrm {d} p)^{\sharp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6ac3e69125cf5bd50250f007af0234086b8469)
가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.
이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.
만약
이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소
에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle I(u)=\int _{M}u\wedge (\mathrm {d} u)^{(\dim M-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c253588252d9f4f6e4ac4fc7889add4299c019c)
그렇다면, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle I(u)=I(u+\mathrm {d} \phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bffe79497b57766bbd717f384ae6417a7ef1f4)
이므로, 이는 사실
위의 실수 값 함수를 정의한다.
![{\displaystyle I\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656d2681479318afc9baef7e3558474cc9a0a301)
마찬가지로, 만약
이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소
및 임의의 다항식
에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle {\tilde {P}}(u)=\int _{M}P\left({\frac {(\mathrm {d} u)^{(\dim M)/2}}{\omega }}\right)\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e346af78809558e94ef183934fdc4d74e2a0ca)
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
![{\displaystyle {\tilde {P}}\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198f39d25e6a2c7c0e488624fa3c5b95cc501cf8)
를 정의한다.
공간
![{\displaystyle \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\cong {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7785290c5c1f183b76e07820e181d8b28582b56b)
은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군
의 쌍대딸림표현을 갖는다.
와
는
의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다.[2]:92, Proposition Ⅱ.3.9 특히, 홀수 차원의 경우,
는
위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우,
는
의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식(영어: Burgers equation)이라고 하며, 다음과 같다.
![{\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial (u^{2})}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800915d3e4689987218158b5b5725e7e8c945ef2)
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=u(t,x(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4b5092d4fa6aa3ff262c62d3847e5ed0925edc)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u(t,x(t))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858b7a795af72b9f8a50e85ab731d8ef5ed46ba7)
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도
는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle x(t)=u_{0}t+x_{0}\qquad (u_{0},x_{0}\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3385527b93f6ebf53b1298c60ca4a5b2b994ad)
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle u(x,t)=f(x-u(t,x)t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a9462085a523fffeb0fa4e29b890959b50b816)
여기서
는
의 초기 조건인 임의의
함수이다.
만약
일 때, 그 해는 다음과 같다.[3]
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b900ac2e682451876524aaf143aa55eca408ca0)
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스(네덜란드어: Jan Burgers)의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]