미분기하학 에서 음악 동형 (音樂同型, 영어 : musical isomorphism )은 매끄러운 다양체 의 접다발 과 공변접다발 사이의 동형 사상 이다. 준 리만 다양체 나 심플렉틱 다양체 의 경우 표준적인 음악 동형이 존재한다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
음악 동형 은 그 접다발
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
공변접다발
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}
벡터 다발 동형 사상 이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.
♭
:
T
M
→
T
∗
M
{\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}
♯
:
T
∗
M
→
T
M
{\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}
♯
∘
♭
=
id
T
M
{\displaystyle \sharp \circ \flat =\operatorname {id} _{\mathrm {T} M}}
♭
∘
♯
=
id
T
∗
M
{\displaystyle \flat \circ \sharp =\operatorname {id} _{\mathrm {T} ^{*}M}}
이를 사용하여, 벡터장 을 1차 미분 형식 에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다.
Γ
(
T
M
)
∋
X
↦
X
♭
∈
Γ
(
T
∗
M
)
{\displaystyle \Gamma (\mathrm {T} M)\ni X\mapsto X^{\flat }\in \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M)}
Γ
(
T
∗
M
)
∋
α
↦
α
♯
∈
Γ
(
T
M
)
{\displaystyle \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M)\ni \alpha \mapsto \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (\mathrm {T} M)}
존재와 유일성 [ 편집 ] 임의의 매끄러운 다양체 에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체 의 구조를 줄 수 있다.)
리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계 [ 편집 ] 음악 동형이 주어졌을 때, 각 점
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
T
x
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}
쌍선형 형식
B
(
−
,
−
)
:
T
x
M
⊗
T
x
M
→
R
{\displaystyle B(-,-)\colon \mathrm {T} _{x}M\otimes \mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} }
B
(
X
,
Y
)
=
⟨
X
♭
,
Y
⟩
{\displaystyle B(X,Y)=\langle X^{\flat },Y\rangle }
이 존재한다.
이 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식 일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다.
g
(
X
,
Y
)
=
B
(
X
,
Y
)
+
B
(
Y
,
X
)
2
{\displaystyle g(X,Y)={\frac {B(X,Y)+B(Y,X)}{2}}}
ω
(
X
,
Y
)
=
B
(
X
,
Y
)
−
B
(
Y
,
X
)
2
{\displaystyle \omega (X,Y)={\frac {B(X,Y)-B(Y,X)}{2}}}
만약
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0}
g
{\displaystyle g}
M
{\displaystyle M}
준 리만 다양체 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약
g
=
0
{\displaystyle g=0}
ω
{\displaystyle \omega }
M
{\displaystyle M}
준 심플렉틱 다양체 (영어 : almost symplectic manifold ) 구조를 정의한다. (만약 추가로
d
ω
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}
심플렉틱 다양체 구조를 이룬다.)
반대로, 준 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
♭
:
T
M
→
T
∗
M
{\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}
♭
|
x
:
v
↦
g
(
v
,
−
)
(
x
∈
M
,
v
∈
T
x
M
)
{\displaystyle \flat |_{x}\colon v\mapsto g(v,-)\qquad (x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}M)}
♯
:
T
∗
M
→
T
M
{\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}
♯
|
x
:
ϕ
↦
g
x
−
1
(
ϕ
)
(
x
∈
M
,
ϕ
∈
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \sharp |_{x}\colon \phi \mapsto g_{x}^{-1}(\phi )\qquad (x\in M,\;\phi \in \mathrm {T} _{x}^{*}M)}
을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
♭
:
T
M
→
T
∗
M
{\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}
♭
|
x
:
v
↦
ω
(
v
,
−
)
(
x
∈
M
,
v
∈
T
x
M
)
{\displaystyle \flat |_{x}\colon v\mapsto \omega (v,-)\qquad (x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}M)}
을 정의할 수 있다.
마르셀 베르제 (1968년)‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제 가 1971년에 이미 사용하였다.[1] :21
‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 벡터장 (접다발 의 단면)을 윗첨자
X
μ
{\displaystyle X^{\mu }}
1차 미분 형식 (공변접다발 의 단면)을 아랫첨자
X
μ
{\displaystyle X_{\mu }}
올림표 (♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표 (♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상 에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond. 《Le Spectre d’une variété riemannienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 194 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0064643 . ISSN 0075-8434 .
Lee, J. M. (2003). 《Introduction to Smooth manifolds》. Springer Graduate Texts in Mathematics 218 . ISBN 0-387-95448-1 Lee, J. M. (1997). 《Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature》. Springer Graduate Texts in Mathematics 176 . New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6 Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). 《An Introduction to Clifford Algebras and Spinors》. Oxford University Press . ISBN 978-0-19-878-292-6 외부 링크 [ 편집 ] 
