이차 형식

수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $Q\colon V\to K$이다.^{:244:54, (3.15)}

• (동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $Q(av)=a^{2}Q(v)$
• (쌍선형성) 함수 $B\colon V\times V\to K$, $(u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$를 정의하면, $B$는 $V$ 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $u,v,w\in V$에 대하여, $Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0$
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$에 대하여, $Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0$

이 경우, $B$를 $Q$의 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.^:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 $\operatorname {char} K=2$라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.^:54

흔히 다루어지는 경우는 $K$는 체이거나 대수적 정수환이며, $V$는 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 $K$ 위에 두 가군 $V$, $V'$이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 $Q$, $Q'$이 존재한다고 하자. $Q$와 $Q'$ 사이의 동치(영어: equivalence) $i$는 다음 조건을 만족시키는 함수 $i\colon V\to V'$이다.

• $i\colon V\to V'$는 가군의 동형이다.
• $Q'\circ i=Q$이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

비퇴화 이차 형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$의 $Q$의 연관 쌍선형 형식이 $B$라고 하자. $Q$의 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 $Q(v)=0$인 원소 $v\in V$이다.^{:58, §3.4.7} $Q$의 근기(영어: radical) $\operatorname {rad} Q$는 $B$의 근기

$\operatorname {rad} B=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}$

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.^{:58, §3.4.7}

$\operatorname {rad} Q=\{v\in \operatorname {rad} B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}$

이는 $V$의 부분 가군이자 $\operatorname {rad} B$의 부분 가군이다. 이는 임의의 $u,v\in \operatorname {rad} B$에 대하여

$Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)$

이기 때문이다.

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.^{:59–60, §2.3}

• 연관 대칭 쌍선형 형식 $B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, $B$로부터 정의되는 사상 $V\to \hom _{R}(V,K)$, $u\mapsto B(u,-)$이 가군의 동형 사상이다.

$K$가 체이고, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

$\operatorname {rad} Q\subseteq \operatorname {rad} B$

의 여차원은 0 또는 1이다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 항상 $\operatorname {rad} Q=\operatorname {rad} B$이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 $\operatorname {char} K=2$인 경우에만 가능하다.

만약 $Q$의 근기가 $\{0\}$이라면, $Q$를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.^{:58, §3.4.7} 만약 $Q$의 연관 쌍선형 형식 $B$가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, $B$의 근기가 $\{0\}$이라면), $Q$를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.^{:58, §3.4.7} 만약 $\operatorname {char} K\neq 2$라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, $\operatorname {char} K=2$일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는

$\dim _{K}\operatorname {rad} B=1$

$\dim _{K}\operatorname {rad} Q=0$

인 경우이다.

정부호성

순서체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

• 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)>0$이다.
• 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)<0$이다.
• 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\geq 0$이다.
• 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\leq 0$이다.
• 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

이차 공간

가환환 $R$ 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) $(M,Q)$은 $R$ 위의 가군 $M$과 그 위의 이차 형식 $Q\colon M\to R$의 순서쌍이다.

$R$ 위의 두 이차 공간 $(M,Q)$, $(M',Q')$ 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon M\to M'$이다.

• $f\colon M\to M'$은 $R$-가군의 가군 준동형이다.
• $Q'\circ f=Q$이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 $\iota \colon (M,Q)\to (M',Q')$이 주어졌을 때, 만약 $\operatorname {coker} \iota =M'/\iota (M)$이 자유 가군이라면, $\iota$를 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.

성질

비트 소거 정리

임의의 표수의 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V_{1},Q_{1})$, $(V_{2},Q_{2})$, $(V_{3},Q_{3})$이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 $(V_{1},Q_{1})\oplus (V_{3},Q_{3})\cong (V_{2},Q_{2})\oplus (V_{3},Q_{3})$이라면, $(V_{1},Q_{1})\cong (V_{2},Q_{2})$이다.

쌍선형 형식과의 관계

가환환 $K$에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, $K$가 표수가 2가 아닌 체일 경우), $K$-가군 $V$ 위의 이차 형식은 $V$ 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 $Q$의 연관 쌍선형 형식

$B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

$Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)$

그러나 만약 $K$에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 및 $\epsilon \in \{\pm 1\}\subseteq K$에 대하여, 2차 순환군 $\mathbb {Z} /2=\langle t|t^{2}=1\rangle$이 쌍선형 형식의 공간 $\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$(t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)$

이에 대하여, $\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)$는 군환 $\mathbb {Z} [\mathbb {Z} /2]$ 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 $\epsilon =+1$이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

$\operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)^{\mathbb {Z} /2}=\left\{B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad \forall u,v\in V\right\}$

0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

$\operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)_{\mathbb {Z} /2}={\frac {\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\}}}$

만약 $\epsilon =-1$일 경우, 이는 $M$ 위의 이차 형식의 공간 $\operatorname {QForms} (M;K)$과 다음과 같이 동형이다.

$[B(-,-)]\mapsto \left(Q_{B}\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)$

다시 말해, 다음과 같은 $K$-가군의 완전열이 존재한다.

$0\to \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K){\xrightarrow {1-t}}\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\to \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to 0$

클리퍼드 대수와의 관계

 이 부분의 본문은 클리퍼드 대수입니다.

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q;K)$를 정의할 수 있다. 이는 $K$-단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 $K$-선형 변환

$\iota _{0}\colon K\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)$

$\iota _{1}\colon V\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)$

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 $\operatorname {BW} (K)$의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

대각화와 비트 분해 정리

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $K^{n}=\operatorname {Span} _{K}\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ 위의 이차 형식 $Q$가

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n}\in K)$

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, $Q$를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, $Q=0$일 경우 이미 대각화돼 있으므로 $Q\neq 0$를 가정할 수 있다. 이 경우 $Q(v_{1})\neq 0$인 $v\in V$를 고를 수 있으며, 이 경우

$V=\operatorname {Span} \{v_{1}\}\oplus (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }$

$u=\underbrace {B(v,v)v/B(v,v)} _{\operatorname {Span} \{v\}}+\underbrace {\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)} _{(\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}\qquad \forall u\in V$

이다. 따라서, 마찬가지로 $Q(v')\neq 0$인 $v'\in (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }$를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V,Q)$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

$(V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• $(V_{0},0)$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• $(V_{1},Q_{1})$은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
• $(V_{2},Q_{2})$는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, $\dim _{K}V_{2}=2n$는 짝수이며, $V_{2}$ 속에서 $Q_{2}|_{W}=0$인 $n$차원 부분 공간 $W\subseteq V_{2}$이 존재한다.

이 경우 $(V_{1},Q_{1})$을 $(V,Q)$의 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, $\dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})$를 $Q$의 계수(영어: rank)라고 하며, $(\dim _{K}V_{2})/2$를 $Q$의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.^:58 비트 정리에 따라, $Q|_{W}=0$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

분류

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

복소수 이차 형식의 분류

$K$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 $K^{n}$ 위의 이차 형식은 그 계수 $r$에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}\qquad (1\leq r\leq n)$

이 경우, 이차 형식은 계수 $r$에 의하여 완전히 분류된다.

실수 이차 형식의 분류

$(K,\leq )$가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 실수체 $\mathbb {R}$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 $K^{n}$ 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 $(s,k)$에 따라서 완전히 분류된다 ($1\leq s\leq k\leq n$). 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{s}^{2}-x_{s+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}\qquad (1\leq s\leq k\leq n)$

구체적으로, n 변수의 $K$ 계수 이차 형식 $Q(x_{1},\dots ,x_{n})$은 $n\times n$ 대칭 행렬 $M$으로 나타낼 수 있다.

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

$Q$의 부호수(영어: signature) $(n_{+},n_{0},n_{-})$는 $M$의 양의 고윳값의 수 $n_{+}\in \mathbb {N}$, 고윳값 0의 중복도 $n_{0}\in \mathbb {N}$, 음의 고윳값의 수 $n_{-}\in \mathbb {N}$의 순서쌍이다. 물론

$n_{+}+n_{0}+n_{-}=n$

이다. 여기서, $n_{+}$ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 $(n_{+},n_{0},n_{-})$는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

국소체 위의 이차 형식의 분류

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

대역체 위의 이차 형식의 분류

 이 부분의 본문은 하세-민코프스키 정리입니다.

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 $K$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q'$이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

• $K$의 완비화인 모든 국소체 $k$에 대하여, $Q_{k}$와 $Q'_{k}$는 서로 동치이다. 여기서 $Q_{k}$는 $Q$를 $k\supset K$ 계수로 간주한, $k$ 위의 이차 형식이다.

홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. $a\in \mathbb {F} _{q}$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

$\nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

$Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)$

$Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

$Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}$

만약 $n$이 홀수라면, $Q_{2}^{(n)}$는 $\alpha Q_{1}^{(n)}$과 동치이다.^:69 이 경우 비트 지표는 $Q_{1}^{(n)}$, $Q_{2}^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$이다.

만약 $n$이 짝수라면, $Q_{1}^{(n)}$은 $\alpha Q_{1}^{(n)}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^:59

• $n\equiv 2{\pmod {4}}$이며 $q\equiv 3{\pmod {4}}$인 경우, $Q_{1}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이며 $Q_{2}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이다.
• $n\equiv 0{\pmod {4}}$이거나 또는 $q\equiv 1{\pmod {4}}$인 경우, $Q_{1}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이며 $Q_{2}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

이 경우, 비트 지표가 $n/2$인 경우를 플러스형(영어: plus-type), $n/2-1$인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

$\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)$

$\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)$

홀수 차수 유한체 $\mathbb {F} _{q}$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 $q$에 따라 구체적으로 다음과 같다.^:37

$W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv 3{\pmod {4}}$인 경우

$\mathbb {Z} /(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{1}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

$q\equiv 1{\pmod {4}}$인 경우

$\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})$	0	1	x	1+x
$W(\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{2}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $\lceil (3n+1)/2\rceil$개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 $n$이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.^{:58–59, §3.4.7} $n$이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, $n$이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, $n$이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

$\operatorname {diag} \left(1,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}+x_{4}x_{5}+\cdots +x_{n-1}x_{n}$

이 경우 $Q$의 연관 대칭 쌍선형 형식은

$B=\operatorname {diag} \left(0,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)$

이다. 즉, $\operatorname {rad} B=\operatorname {Span} _{\mathbb {F} _{q}}\{x_{1}\}$이다.

$a\in \mathbb {F} _{q}$가 $x^{2}+x+a=0$의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) $n$이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.^{:58–59, §3.4.7}

$\operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

$\operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

$Q_{+}(x)=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{n-1}x_{n}$

$Q_{-}(x)=ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +\cdots +x_{n-1}x_{n}$

이 경우 $Q_{+}$를 플러스형(영어: plus-type), $Q_{-}$를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^:59 $Q_{+}$의 비트 지표는 $n/2$이며, $Q_{-}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 위의 이차 형식의 분류

정수환 $\mathbb {Z}$이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.^:§15.1 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.^:§15.1 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.^:§15.1

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. $\mathbb {Z} ^{n}$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q'$이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

• $Q$와 $Q'$는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
• 모든 소수 $p=2,3,5,\dots$에 대하여, p진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$를 정의한다면, $Q$와 $Q'$는 $\mathbb {Z} _{p}$ 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.

응용

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

대수기하학

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

모듈러 형식

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

격자 이론

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.

역사

고대 수학에서의 이차 형식

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 $x^{2}+y^{2}$의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 $x^{2}-ny^{2}$을 연구하는 문제이다.

19세기 이차 형식 이론

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

20세기~21세기 이차 형식 이론

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,^:§15.1 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.^:§15.1 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

참고 문헌

• Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). 《The sensual (quadratic) form》. Carus Mathematical Monographs (영어). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. Zbl 0885.11002. 
• Cassels, J.W.S. (1978). 《Rational quadratic forms》. London Mathematical Society Monographs (영어) 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029. 
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511666155. ISBN 978-052140475-4. MR 1245266. Zbl 0785.11021. 
• Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 73. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. MR 0506372. Zbl 0292.10016. 
• O’Meara, O.T. (2000). 《Introduction to quadratic forms》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 117. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62031-7. ISBN 978-3-540-66564-9. Zbl 0259.10018. 
• Pfister, Albrecht (2001년 2월). 《Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526077. ISBN 978-052146755-1. Zbl 0847.11014. 
• Shimura, Goro (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 106. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-1732-4. ISBN 978-1-4419-1731-7. ISSN 1439-7382. MR 2665139. Zbl 1202.11026. 
• Siegel, Carl Ludwig (1955). “Lectures on quadratic forms” (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. MR 0271028. Zbl 0248.10019. 
• Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008. 
• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). 《The algebraic and geometric theory of quadratic forms》. Colloquium Publications (영어) 56. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4329-1. MR 2427530. Zbl 1165.11042. 

외부 링크

• 今野 拓也 (2006년 7월 10일). “二次形式、局所大域原理、テータ級数” (PDF) (일본어). 규슈 대학. 
• 김명환 (2001년 1월). “이차형식이론 연구의 동향과 전망”. 《Trends in Mathematics》. KAIST. 
• “Quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Binary quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Quadratic form”. 《nLab》 (영어). 
• “Quadratic refinement”. 《nLab》 (영어). 
• “Characteristic element of a bilinear form”. 《nLab》 (영어). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form rank”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylvester's signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “p-signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive semidefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Indefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “대칭 겹선형 형식과 이차형식”. 《수학노트》. 
• 이철희. “유리계수 이차형식”. 《수학노트》. 
• 이철희. “정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)”. 《수학노트》.