미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 구는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.
이
차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이므로, 모든 점
에 대하여, 상대 호몰로지 군
은

의 꼴이다.
이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층
이 존재한다. 이를
의 방향층(方向層, 영어: orientation sheaf)이라고 한다. 물론, 정수환
대신 다른 가환환
계수를 사용할 수 있으며, 이 경우
-가군의 국소 상수층
를 얻는다.
점
에서의 국소 방향(局所方向, 영어: local orientation)은 무한 순환군
의 두 생성원 가운데 하나이다.
위의 방향은 방향층
의 단면 가운데, 각 점
에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 열린 덮개
. 또한, 각
에 대하여
가 축약 가능 공간이라고 하자.
- 이에 따라, 임의의
에 대하여,
속의 임의의 두 점
에 대하여, 표준적인 군 동형 사상
가 존재한다.
- 각
및
속의 임의의 점
에 대하여, 국소 방향
. 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의
속에
에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.
이는 다음 조건을 따라야 한다.
- 임의의
및
에 대하여,
에서의 국소 방향이
에서의 국소 방향과 일치한다.
이
차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면
위의 방향은 항상 0이 아닌
차 미분 형식의 동치류다. 만약 두
차 미분 형식
,
가
의 꼴이고,
가 매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면
로 간주한다.
이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다.
같은 차원의 두 다양체
,
의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합
역시 표준적인 방향을 갖는다.
(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체
,
의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간
역시 표준적인 방향을 갖는다.
유향 다양체
의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)
차원 경계다양체
의 내부
는
차원 다양체를 이루며,
은
차원 다양체를 이룬다.
의 방향이 주어졌을 때, 이는
의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.
모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로,
차원 복소다양체
의 열린 덮개
의 복소수 국소 좌표계

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는
의 방향을 정의한다.