리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.
가환환
위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
-리 대수 ![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
-비퇴화 쌍선형 형식
, ![{\displaystyle x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabdc1f4fcb78e277808e268916690f21e980c82)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf1a441a7bb182890d9d6e512a26ad1e4932816)
아인슈타인 표기법을 사용하여,
의 원소를
와 같이 윗첨자로 표기하고,
의 구조 상수를
![{\displaystyle [t^{i},t^{j}]=f^{k}{}_{ij}t^{i}t^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6f67f8eb8651376087fd30f048c1705bf2ea89)
와 같이 적고 (
), 쌍선형 형식을
![{\displaystyle \langle t^{i}|t^{j}\rangle =C_{ij}t^{i}t^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feab2f831731861739275742a23ad3feac2ebce3)
와 같이 적을 경우 (
), 위 조건은 다음과 같다.
![{\displaystyle 0=C_{l(j}f^{l}{}_{k)i}=C_{lj}f^{l}{}_{ki}+C_{lk}f^{l}{}_{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0afa4861ba7c662faa2ddb3be03f6572b4a6dd)
여기서
는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.
이중 확대[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
-이차 리 대수 ![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d801a4b84585f19ddad10c55ed7c42a4f6d8040)
-리 대수
및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식
(이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
-리 대수 준동형
(여기서
는 대칭 쌍선형 형식
에 대한 직교 리 대수)
그렇다면, 직합
-벡터 공간
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4130ee2d920314b835f2603d01dd1c5ce8961129)
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.
![{\displaystyle \langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fc5edb3b2adaf3f73e0cb114dea4c510e483af)
![{\displaystyle [(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ef6f26833434745cf15ee7165ed9d68323a39e)
![{\displaystyle [(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41b289e113a6173ef2a54a69489f68597aff92b)
![{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb929e18aa1649f14f844fed3adadab19b18650)
![{\displaystyle [(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a54782e47ba27b7cfc6fc1e1be296d1da5f3fe0)
![{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} _{h})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaccde85fadf6737ee0d2a4acc081ee0cea61341)
여기서
![{\displaystyle \omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e4bffecb692ff1105c7ec759fa176b422d89d2)
![{\displaystyle \omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073137f00c25243ed6ec4ef739afc8fe4c269f8c)
이다. 이를
의,
를 통한 이중 확대(영어: double extension)라고 한다.[1]:553–554, §0.2
만약
일 때,
의 부호수가
이며,
가
차원이라면,
위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이,
의
를 통한 이중 확대의 부호수는
이다.
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.
실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3
증명:
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.[1]:Théorème Ⅱ
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅱ
마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅲ
- 직합
- 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce4c1f63beb3326d4b02007271001ecb3be8cfb)
표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
임의의 체
위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.
비콤팩트 이차 리 대수[편집]
가환환
위의 이차 리 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환
위에 리 괄호
![{\displaystyle [p,q]_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]_{\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0563cfd346fdda2d289bf5d07b6a51620ef759)
를 줄 수 있다. 또한, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df779da01c8305d0e05acc70a21135661e2b332)
는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus _{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a1fe642ca5527d805fe017f818e6b7afc161dd)
를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.
![{\displaystyle \langle x_{0}+x_{1}t+\dotsb +x_{n-1}t^{n-1}|y_{0}+y_{1}t+\dotsb +y_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle _{\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da390b707723aedeeec7dec48bc8309d7c727704)
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.
이제, 만약 예를 들어
가 표수 0의 체이며,
가 단순 리 대수이며,
일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.
아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수[편집]
다음과 같은 리 대수를 생각하자.[3]:Proposition 2.2
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{C,L_{+},L_{-},C^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c17c109288aed863853153c024d5b1e7669e0b)
![{\displaystyle [C,L_{\pm }]=\pm L_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed086769ac52f6dbfd7c59bdb4069559a77f36b)
![{\displaystyle [L_{+},L_{-}]=C^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d938db8fcb003ee219f6656a8b6e86729de9d263)
![{\displaystyle [L_{\pm },L_{\pm }]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec81fb6803ac9dd368bfc6b6ed0e34fde7ad80c8)
![{\displaystyle [C,C^{*}]=[L_{\pm },C^{*}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12996af9c501b2d9ad2ae91a89cf43d84d3801b7)
여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식
![{\displaystyle \langle C^{*}|C\rangle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2441b42e1300bd844d1fed3ef4833db2005329af)
![{\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\mp }\rangle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8958ca35b3c7d9291f40459c25ffceae6f1295e0)
![{\displaystyle \langle L_{\pm }|L_{\pm }\rangle =\langle C|C\rangle =\langle C^{*}|C^{*}\rangle =\langle C^{*}|L_{\pm }\rangle =\langle C|L_{\pm }\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b00c6d881cb2274e8522b257d292bc7b612f33)
을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
또한, 다음을 생각하자.[3]:Proposition 2.3
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},x_{2},t,x^{1},x^{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa09841e29413d4397ac8bc1b55f0934f364c0cf)
![{\displaystyle \langle x_{i}|x^{j}\rangle =\delta _{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb7950daef7e7f933f7a0b47d91bdb8b64b6304)
![{\displaystyle \langle x_{i}|x_{j}\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ab3664bfeac91a9bdfbe6c675d3817d0f048a0)
![{\displaystyle \langle t|t\rangle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed386d606bddd78458ec11722bce4c7825238e2)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d75156fe246ae71da4fd0ad8bd15f0c85ab203)
![{\displaystyle [x_{i},t]=-\epsilon _{ij}x^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7b40f91f9b5981c02a19c5302790c3f01bd71b)
![{\displaystyle [x^{j},t]=[x_{i},x^{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609f9448939907e1a88cd84ed0c935d61d50f920)
여기서
는 크로네커 델타이며,
는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다.
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
낮은 차원의 이차 리 대수[편집]
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.[3][4]
실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.
가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수[4]:Theorem 4.11
차원 |
이차 리 대수
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3 |
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6 |
에 의한 이중 확대
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에 의한 이중 확대
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8 |
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9 |
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10 |
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일 때, 이중 확대 .[4]:Example 3.11 여기서 이며 ( )
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일 때, 이중 확대 .[4]:Example 4.7. 여기서 이며 는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
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11 |
(총 3개)
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12 |
(총 9개)
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13 |
(총 4개)
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아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수[3]:Proposition 2.2, 2.3, 3.8
차원 |
이차 리 대수
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4 |
(※위 문단을 참고)
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5 |
(※위 문단을 참고)
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6 |
(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)
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참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]