레비치비타 기호

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레비치비타 기호(Levi-Civita symbol) 또는 치환 텐서(permutation tensor)는 선형대수학텐서 미적분학에서 정의된 텐서로 수의 치환과 관련해 값을 주는 텐서이다. 이 기호는 이탈리아 수학자 툴리오 레비치비타를 따라 이름지어졌다.

정의[편집]

레비치비타 기호의 모습

레비치비타 기호 \varepsilon_{ijk} 는 다음과 같이 정의된다.

\varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3)\\
0  & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases}

정의에서 보다시피 레비치비타 기호는 완전 반대칭이다.

크로네커 델타와의 관계[편집]

레비치비타 기호는 크로네커 델타와 많은 관계가 있다. 3차원에서는 다음과 같은 관계들이 있다.


\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \det \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
&= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right)
\end{align}

\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
("축약된 입실론 성질")
(아인슈타인 표기법을 사용하면 :  \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km})

\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

활용 예[편집]

레비치비타 기호는 수학과 물리학의 다양한 분야에서 사용된다. 예를 들어, 선형대수학에서 두 3차원 벡터외적은 이 기호를 사용해 다음과 같이 쓸 수 있다.


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

혹은, 더 간단히 쓰면:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k

위 표기는 아인슈타인 표기법을 사용하면 훨씬 더 간단해진다


c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;

레비치비타 기호의 일반화[편집]

레비치비타 기호는 다음과 같이 고차원으로 일반화 될 수 있다.

\varepsilon_{ijkl\dots} =
\begin{cases}
+1 & \mbox{if }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ is an even permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{if }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ is an odd permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
0  & \mbox{if any two labels are the same}
\end{cases}


같이 보기[편집]