리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.
가환환
위의 리 대수
의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra)
는 리 괄호에 대하여 닫힌
-부분 가군이다. 즉,
이며
이다.
가환환
위의 리 대수
의 부분 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.
-부분 가군이며,
이다.
인 리 대수 준동형
가 존재한다.
리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra)
를 정의할 수 있다.
리 초대수의 경우[편집]
위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.
가환환
위의 리 초대수
의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra)
는 리 초괄호에 대하여 닫힌
-부분 가군이다. 즉,
![{\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25240b42a4457a65f45f7fd9b15bd241bee9911b)
이다.
가환환
위의 리 초대수
의 아이디얼(영어: ideal)
는 다음 조건을 만족시키는
-부분 가군이다.
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38df80927675361cb079f56c329714129c5524eb)
즉,
이라고 할 때,
는 리 대수
의 아이디얼이다.
는
의 표현을 이루며 (
), 또한
을 만족시킨다.
L∞-대수의 경우[편집]
위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.
가환환
위의 L∞-대수
의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra)
는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차
-부분 가군이다. 즉,
![{\displaystyle [\overbrace {{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}},\dotsc ,{\mathfrak {h}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4314e21034b5b6912acc29b018ff1335def69215)
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e93e9433731685315c0cf05a95404536b5b9723)
이다. 여기서
은 등급
의 성분을 취하는 사영 함수이다.
가환환
위의 L∞-대수
의 아이디얼(영어: ideal)
는 다음 조건을 만족시키는
-부분 가군이다.
![{\displaystyle [{\mathfrak {h}},\overbrace {{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}},\dotsc ,{\mathfrak {g}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83928f5e0da013c6a2ccc5244991f473fbcb04db)
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e93e9433731685315c0cf05a95404536b5b9723)
특히,
일 때 이 조건은
![{\displaystyle \mathrm {d} {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fb1392430d16193a0a217caf980456af7af067)
이다. 즉,
는
의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.
함의 관계[편집]
모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환
위의 리 대수
의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆
-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합
다른 성질과의 관계[편집]
표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수
에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.
리 대수의 종류 |
리 대수 아이디얼을 통한 정의
|
단순 리 대수 |
정확히 두 개의 아이디얼 (즉, )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
|
반단순 리 대수 |
아벨 아이디얼은 밖에 없음
|
아벨 리 대수 |
모든 -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
|
![{\displaystyle \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694) |
정확히 한 개의 아이디얼을 가짐
|
자명한 리 대수 아이디얼[편집]
모든 리 대수
에 대하여,
과
는 (자명하게)
의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}/\{0\}\cong {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5125f9f8915da57d93ac45423e136519f601bb3d)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}\cong \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52c5cd0b9ac4918f7f17a66f1631182efdff7e3)
직합 성분[편집]
같은 가환환 위의 두 리 대수
,
의 직합
에서,
는 각각
의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {g}}}\cong {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3746d390753dbda59780f2ea14498682449c186b)
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {h}}}\cong {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbc5527b6c8206401f68e203a8a3e5b2017cc57)
리 대수 중심[편집]
가환환
위의 리 대수
의 중심(中心, 영어: center)
은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e953afc610a77831aae97c8e07c3b89076b23f0a)
이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
유도 리 대수[편집]
가환환
위의 리 대수
가 주어졌을 때, 부분 공간
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=\left\{[x_{1},y_{1}]+\dotsb +[x_{n},y_{n}]\colon n\in \mathbb {N} ,\,x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}\in {\mathfrak {g}}\right\}\subseteq {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829c54c8fc8ac58eaf97484f850d6e75091708a7)
는
의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를
의 유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다.
리 대수 근기[편집]
리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.
외부 링크[편집]