리 초대수

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리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z₂ 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. (그러나 BRST에서는 그 반대다.)

정의[편집]

리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, 가환환(대개 실수복소수)에 대한 Z2 등급 대수다. (이는 일반적인 리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

  • (반대칭성)
  • (야코비 항등식)

여기서 x, y, z는 순수하게 등급을 지니는 대수의 원소다. |x|는 등급을 뜻한다. 리 괄호의 등급은 다음과 같다.

벡터 공간으로서, 리 초대수 는 그 등급이 0(보손)인 부분공간 과 등급이 1(페르미온)인 부분공간 직합이다. 이렇게 분해하면, 리 대수를 이루고, 표현을 이룬다. 또한, 은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

를 가진다.

분류[편집]

고전적(classical) 단순(simple) 복소 리 초대수의 목록은 다음과 같다.

이름 기호 조건 보손 부분대수 보손 차원 페르미온 표현 페르미온 차원
특수선형(special linear)
사영특수선형(projective special linear)
직교-심플렉틱(orthosymplectic) ,
이상한(queer)
페리플렉틱(periplectic)
예외 9 8
예외 24 16
예외 17 14

위 표에서 의 대칭 성분이고, 의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

또한 의 경우 에 대하여 여러 동형이 존재한다. 이 밖에 고전 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

이 밖에도, 카르탕 형 대수(영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(영어: hyperclassical algebra)라고 불리는 단순 리 초대수 , , , 이 존재한다. 이들의 보손 부분공간은 리 대수를 이루지 않는다.

고전적 리 초대수[편집]

초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

여기서 이고, 는 n\times n</math>이다. 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(영어: supertrace)은 다음과 같다.[1]:§25

특수 선형 초대수 는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[1]:§25

단위 행렬 의 경우 이므로, 일 필요충분조건은 이다. 이 경우, 사영 특수 선형 초대수 는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

직교-심플렉틱 초대수 · 이상한 초대수[편집]

직교-심플렉틱 초대수 는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[1]:§25

여기서

이다.

페리플렉틱 초대수 는 다음과 같다.[1]:§25[2]:9, (1.14)

를 다음과 같이 정의하자.

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 초대수 이라고 한다.[1]:§25

응용[편집]

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다.

BRST 대칭[편집]

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 의 초괄호는 다음과 같다.

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭[편집]

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 초등각 대칭군은 단순초군 이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F. 
  2. Cheng, Shun-Jen; Wang, Weiqiang (2013). 《Dualities and Representations of Lie Superalgebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 144. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9118-6. MR 3012224. Zbl pre06125952. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]