리 대수의 표현

리 대수의 표현(Lie代數-表現, 영어: representation of a Lie algebra)은 주어진 리 대수를 벡터 공간의 선형 변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의[편집]

가환환 $R$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 표현 $(M,\phi )$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$M$ 은 $R$ 위의 가군이다.
$\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M;R)$ 는 리 대수 준동형이다. 여기서 ${\mathfrak {gl}}(M;R)$ 는 $M$ 의 $R$ -가군 자기 사상들로 구성된 단위 결합 대수의 리 대수이다.

이는 ${\mathfrak {g}}$ 의 보편 포락 대수 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 위의 가군과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 $\phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M$ 는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.

(쌍선형성) $\phi$ $\phi$ 는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
- (스칼라곱) 임의의 $r\in R$ 및 $x\in {\mathfrak {g}}$ 및 $m\in M$ 에 대하여 $\phi (rx,m)=\phi (x,rm)=r\phi (x,m)$
- ( ${\mathfrak {g}}$ 에 대한 선형성) 임의의 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 및 $m\in M$ 에 대하여 $\phi (x+y,m)=\phi (x,m)+\phi (y,m)$
- ( $M$ 에 대한 선형성) 임의의 $x\in {\mathfrak {g}}$ 및 $m,n\in M$ 에 대하여 $\phi (x,m+n)=\phi (x,m)+\phi (x,n)$
(리 괄호의 보존) 임의의 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여, $\phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))$

무게[편집]

표현 $\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ 의 무게(영어: weight)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 로 쓰면, 그 대수적 쌍대공간의 원소인 $\rho$ 의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ 는 적어도 하나의 0이 아닌 $v\in V$ 가 모든 $\xi \in {\mathfrak {h}}$ 에 대하여 $\rho (\xi )v=\lambda (\xi )v$ 를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

연산[편집]

가환환 $R$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 두 표현 $(M,\phi )$ , $(M',\phi ')$ 이 주어졌다고 하자.

가군의 직합 $M\oplus M'$ 위에 자연스럽게 ${\mathfrak {g}}$ -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 직합이라고 한다.
가군의 텐서곱 $M\otimes _{R}M'$ 위에도 자연스럽게 ${\mathfrak {g}}$ -표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 텐서곱이라고 한다.