리 대수의 표현

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리 대수의 표현(Lie代數-表現, 영어: representation of a Lie algebra)은 주어진 리 대수벡터 공간선형 변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의[편집]

가환환 R 위의 리 대수 \mathfrak g 위의 표현 (M,\phi)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 \mathfrak g보편 포락 대수 \mathcal U(\mathfrak g) 위의 가군과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 \phi\colon\mathfrak g\times M\to M는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.

  • (쌍선형성) \phi는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
    • (스칼라곱) 임의의 r\in Rx\in\mathfrak gm\in M에 대하여 \phi(rx,m)=\phi(x,rm)=r\phi(x,m)
    • (\mathfrak g에 대한 선형성) 임의의 x,y\in\mathfrak gm\in M에 대하여 \phi(x+y,m)=\phi(x,m)+\phi(y,m)
    • (M에 대한 선형성) 임의의 x\in\mathfrak gm,n\in M에 대하여 \phi(x,m+n)=\phi(x,m)+\phi(x,n)
  • (리 괄호의 보존) 임의의 x,y\in\mathfrak g에 대하여, \phi([x,y],m)=\phi(x,\phi(y,m))-\phi(y,\phi(x,m))

무게[편집]

표현 \rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)무게(영어: weight)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수\mathfrak h\subset\mathfrak g로 쓰면, 그 대수적 쌍대공간의 원소인 \rho의 무게 \lambda\in\mathfrak h^* 는 적어도 하나의 0이 아닌 v\in V가 모든 \xi\in\mathfrak h에 대하여 \rho(\xi)v=\lambda(\xi)v를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

연산[편집]

가환환 R 위의 리 대수 \mathfrak g 위의 두 표현 (M,\phi), (M',\phi')이 주어졌다고 하자.

  • 가군의 직합 M\oplus M' 위에 자연스럽게 \mathfrak g-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 직합이라고 한다.
  • 가군의 텐서곱 M\otimes_RM' 위에도 자연스럽게 \mathfrak g-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 텐서곱이라고 한다.

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자명한 표현[편집]

가환환 R 위의 리 대수 \mathfrak gR-가군 M이 주어졌을 때, 상수 함수

\phi\colon\mathfrak g\times M\to M
\phi\colon(x,m)\to0

\mathfrak g의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.

딸림표현[편집]

가환환 R 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때,

\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{gl}(\mathfrak g;R)
\operatorname{ad}\colon x\mapsto[x,-]

로 정의하면, \mathfrak g는 스스로의 표현을 이룬다. 이를 리 대수의 딸림표현(영어: adjoint representation)이라고 한다. 이는 리 군 G의, 스스로의 리 대수 \operatorname{Lie}(G) 위의 군의 표현인 딸림표현의 무한소 형태이다.

아벨 리 대수[편집]

가환환 R 위의 가군 M아벨 리 대수로 생각하자. 임의의 R-가군 준동형 f\colon M\to R가 주어졌을 때,

\phi\colon M\times R\to R
\phi\colon (m,r)\mapsto f(m)r

로 정의하면 이는 M의 표현을 이룬다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000