쌍대공간

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선형대수학에서, 한 벡터 공간 쌍대 공간(雙對空間, 영어: dual space)이란 위의 범함수들로 이루어진 벡터 공간을 말한다.

대수적 쌍대 공간[편집]

상의 벡터 공간일 때, (대수적) 쌍대 공간 상의 모든 범함수(즉, 에서 로의 선형 변환)들의 집합으로 정의된다. 의 원소 의 원소 , 의 원소 x에 대해, 다음과 같이 연산을 정의할 수 있으면 는 체 위의 벡터 공간으로 정의할 수 있다.

이는 에 대한 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 위의 함자 를 정의한다.

유한 차원의 경우[편집]

유한 차원 벡터 공간 의 경우, 대수적 쌍대 공간 은 유한 차원이다. 즉, 로 국한할 수 있다 (는 유한 차원 벡터 공간들의 범주). 또한, 와 그 대수적 쌍대 공간 의 차원은 같으며, 따라서 이 둘은 서로 동형이다.

그러나 이는 표준적(영어: canonical)이지 않다. 범주론적으로, 는 반변 자기 함자이므로, (공변) 자기 함자가 아니다.

반면, 의 이중 쌍대 공간 와 표준적으로 동형이다. 범주론적으로, 함자

는 상수 함자

자연 동형이다.

무한 차원의 경우[편집]

무한 차원의 벡터 공간 의 경우, 의 차원은 (기수로서) 항상 의 차원보다 더 작다.

상수 함자에서 이중 쌍대 공간 함자 로 가는 자연 변환 가 존재한다.

이 경우, 들은 항상 단사 함수이지만, 가 무한 차원일 경우 전사 함수가 아니다.

연속 쌍대 공간[편집]

위상체 에 대한 위상 벡터 공간 연속 쌍대 공간 위의 유계 선형 범함수 벡터 공간이다.

이 경우, 에는 다양한 위상을 주어 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]