딸림표현

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리 군론에서, 딸림표현(-表現, 영어: adjoint representation)은 어떤 리 군이 스스로의 리 대수 위에 가지는 표준적인 표현이다.

정의[편집]

리 군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

이제, 그 원점 에서의 을 취하자.

이제, 리 대응 아래 에 대응하는 리 대수이며, 리 대수자기 준동형이다. 즉, 이는 사상

를 정의한다. 특히, 만약 리 대수 구조를 잊고 단순히 실수 벡터 공간으로 간주한다면, 이는 의 유한 차원 실수 표현을 이룬다. 이를 리 군 딸림표현이라고 한다.

리 대수의 딸림표현[편집]

임의의 가환환 위의 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사상

의, 스스로 위의 리 대수 미분리 대수로 가는 리 대수 준동형이며, 특히 표현으로 여겨질 수 있다. 이를 딸림표현이라고 한다.

성질[편집]

리 군 의 (리 대응 아래 대응하는) 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 리 군 딸림표현

의, 원점 에서의 을 취하자.

그런데

이며,

임을 보일 수 있다.

[편집]

리 대응 아래, 아벨 리 군 리 대수는 모든 리 괄호가 0인 벡터 공간이다. 이 경우, 의 딸림표현은 항등 함수로 가는 상수 함수이다.

외부 링크[편집]