미분 리 대수

이 문서는 어떤 이항 연산에 대하여 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 구성된 리 대수에 관한 것입니다. 사슬 복합체 구조를 갖는 리 초대수에 대해서는 미분 등급 리 대수 문서를 참고하십시오.

리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.^{:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2:383, Chapter 16:190, §25} 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 $A_{0},A_{1}$. $A=A_{0}\oplus A_{1}$로 표기하자.
• $K$-가군 준동형 $(\cdot )\colon A\otimes _{K}A\to A$, $(a\otimes b)\mapsto a\cdot b$
• $\epsilon \in \{0,1\}$

그렇다면, $(A,\cdot )$의 $\epsilon$-미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $d_{0}\colon A_{0}\to A_{1}$
• $d_{1}\colon A_{1}\to A_{0}$

편의상 $d=d_{0}\oplus d_{1}\colon A\to A$로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(a\cdot b)=da\cdot b+a\cdot db\qquad \forall a\in A_{0},\;b\in A$

$d(a\cdot b)=da\cdot b+\epsilon a\cdot db\qquad \forall a\in A_{1},\;b\in A$

이는

$\deg a={\begin{cases}0&a\in A_{0}\\1&a\in A_{1}\end{cases}}\in \{0,1\}$

을 정의하면

$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-)^{\epsilon \deg a}a\cdot db$

로 표기될 수 있다.

$(A,\cdot )$ 위의 $\epsilon$-미분들의 집합을 ${\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A)$로 표기하자. 그렇다면,

${\mathfrak {der}}(a)={\mathfrak {der}}_{0}(A)\oplus {\mathfrak {der}}_{1}(A)$

위에 리 초괄호

$[d,d'\}=d\circ d'-(-)^{\epsilon \epsilon '}d'\circ d\qquad (d\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A),\;d'\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon '}(A))$

을 정의하면, 이는 $K$-리 초대수를 이룬다. 이를 $(A,\cdot )$의 미분 리 초대수(영어: derivation Lie superalgebra)라고 한다.

물론, 만약 $A_{1}=0$일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 $(A_{0},\cdot )$의 미분 리 대수(영어: derivation Lie algebra) ${\mathfrak {der}}(A_{0})$를 정의할 수 있다. 이는 $K$-리 대수이다. 리 대수 이론에서, 리 대수 미분(영어: derivation of a Lie algebra)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는 $(A,\cdot )$가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질

내부 미분

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 임의의 원소 $x$에 대하여, 딸림표현

$\operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]$

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$

을 정의한다. 그 상 ${\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 $K$-몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다.

${\frac {{\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}{{\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})}}=\operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}})$

표수 0의 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

${\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$

반면, 표수 0의 체 위에서도, ${\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.^{:961, §1}

리 대수 자기 동형

표수 0의 체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 미분 $d\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$가 멱영원이라고 하자. 즉,

$\exists n\in \mathbb {N} \colon d^{n}=0\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp(d)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d^{n}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

이는 ${\mathfrak {g}}$의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

$[\exp(d)(x),\exp(d)(y)]=\exp(d)([x,y])$

가 성립한다.

외부 링크

• “Derivation in a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Derivation algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Derivation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Derivation”. 《nLab》 (영어). 
• “Derivation Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Automorphism infinity-Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Inner derivation Lie 2-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Armstrong, John (2012년 8월 10일). “Derivations”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어). 
• Armstrong, John (2012년 9월 11일). “All derivations of semisimple Lie algebras are inner”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어). 
• Armstrong, John (2012년 8월 18일). “Automorphisms of Lie algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).