무게 (표현론)

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리 대수 이론에서, 무게(영어: weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의[편집]

에 대한 리 대수 무게 는 다음 성질을 만족시키는 -선형 범함수이다. (여기서 쌍대 공간이다.)

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 의 무게는 그 가환화 의 무게로 제한될 수 있다. 즉, 의 무게는 의 원소를 정의한다.

무게 가군[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • -리 대수
  • 표현
  • 의 무게

그렇다면, 속의, 무게 무게 공간(영어: weight space) 의 다음과 같은 부분 공간이다.

이라면 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(영어: weight vector)라고 한다.

만약 가 그 무게 공간들의 직합이라면, 무게 가군(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. 속의, 무게 일반화 무게 공간(영어: generalized weight space) 의 다음과 같은 부분 공간이다.[1]:130

이라면 일반화 무게(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원 의 경우 사실 항상 로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(영어: generalized weight module)이라고 한다.

성질[편집]

복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.[1]:130, Proposition II.2.4

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게[편집]

만약 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 를 고르자. 이므로, 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, 의 모든 유한 차원 표현은 (에 제한되었을 때) 의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 -무게들을 (根, 영어: root)이라고 하며, 이들은 의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 에 대응하는 쌍대근(雙對根, 영어: coroot)

이다.

단순 리 대수의 무게[편집]

복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 를 고르자. 정수 무게(整數-, 영어: integral weight) 는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

  • 모든 쌍대근 에 대하여, . (다시 말해, 모든 근 에 대하여, .)

정수 무게들의 집합 는 (덧셈군으로서) 와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(영어: integral weight lattice)라고 한다.

근계양근 및 이를 생성하는 단순근 를 고르자. 그렇다면, 기본 무게(基本-, 영어: fundamental weight) 는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 이다.

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

우세 무게(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) 에 대하여

인 것이다. 우세 정수 무게(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

무게 정수 무게 양근 단순근
우세 무게 우세 정수 무게 기본 무게
영벡터 (0)

여기서

  • 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
  • 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

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다음과 같은 A2 근계를 생각하자.

Weights for A2 root system.png

여기서

  • 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 화살표의 머리들(, , )은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
  • 양근, , 이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
  • 단순근, 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
  • 기본 무게는 , 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B2 근계를 생각하자.

Root system B2.svg

여기서

  • 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 격자 의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 화살표의 머리들(, , )은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
  • 양근, , , 이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
  • 단순근, 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
  • 기본 무게는 , 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

참고 문헌[편집]

  1. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. 

외부 링크[편집]