직교 리 대수

리 군론에서 직교 리 대수(直交Lie代數, 영어: orthogonal Lie algebra)는 직교군에 대응되는 리 대수이다. 어떤 대칭 쌍선형 형식에 대하여 반대칭 행렬을 이루는 선형 변환들로 구성된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 $V$
• $V$ 위의 대칭 쌍선형 형식 $B\colon \operatorname {Sym} ^{2}V\to K$

그렇다면, $V$의 자기 준동형으로 구성된 $K$-리 대수

${\mathfrak {gl}}(V;K)=\operatorname {End} _{K}(V)=\hom _{K}(V,V)$

를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은 $K$-부분 가군은 $K$-부분 리 대수를 이루며, 이를 $V$의 $B$에 대한 직교 리 대수라고 한다.

${\mathfrak {o}}(V,B)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon B(v,Mv)=0\;\forall v\in V\}$

증명:

우선, 임의의 $M\in {\mathfrak {o}}(V,B)$에 대하여

$0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)$

이다. 따라서, 임의의 $M,N\in {\mathfrak {o}}(V,B)$에 대하여

$B(v,MNv)=-B(Mv,Nv)=B(NMv,v)=B(v,NMv)$

이다. 즉,

$B(v,[M,N]v)=0$

이다.

만약 가환환 $K$에서 2가 가역원이라면, $M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

1. $B(v,Mv)=0\qquad \forall v\in V$
2. $B(u,Mv)=-B(v,Mu)\qquad \forall u,v\in V$

그러나 만약 2가 가역원이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.

증명:

조건 1 ⇒ 조건 2:

$0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)$

2가 가역원일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1:

$B(v,Mv)=-B(v,Mv)$이므로, $2B(v,Mv)=0$

만약 추가로 $K$가 표수가 2가 아닌 체이며, $V$가 유한 차원 벡터 공간이며, $B$가 비퇴화 쌍선형 형식이라면, 이는 $V$와 쌍대 공간 $V^{*}$ 사이의 동형을 정의하며, 이 경우 직교 리 대수는 $B$를 통하여 행렬로 표기하였을 때 반대칭 행렬이 되는 선형 변환들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법으로,

$B(u,v)=B_{ij}u^{i}v^{j}$

로 적으면,

$M\in {\mathfrak {o}}(V,B)\iff M_{ij}=-M_{ji}\qquad (M_{ij}\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,B_{ii'}M^{i'}{}_{j})$

이다.

성질

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q\colon V\to K$에 대응되는 대칭 쌍선형 형식이

$B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

라고 하자. 그렇다면, 리 대수 ${\mathfrak {o}}(V,B)$는 직교군 $\operatorname {O} (V,Q)$의 리 대수이다.

대수군의 경우와 달리, 리 대수는 이차 형식에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식에만 의존한다. 이는 직교군의 정의가

$Q(Mv)=Q(v)\qquad \forall v\in V$

인데, 이를 “무한소화”하면

$Q((1+tM)v)=Q(v)+{\mathcal {O}}(t^{2})$

가 된다. 그런데

$Q((1+tM)v=Q(v)+tB(v,Mv)+t^{2}Q(Mv)$

이므로, 이는 오직 $B(-,-)$에만 의존하게 된다.

예

만약 $B=0$일 때, 정의에 따라 자명하게 ${\mathfrak {o}}(V,B)={\mathfrak {gl}}(V)$이다.

특수 직교 리 대수

만약 $V$가 유한 생성 자유 가군일 경우, 대각합이 0인 가군 준동형들로 구성된 특수 선형 리 대수

${\mathfrak {sl}}(V;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon \operatorname {tr} M=0\}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V;K)$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 특수 직교 리 대수(영어: special orthogonal Lie algebra)

${\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)\cap {\mathfrak {sl}}(V;K)$

를 정의할 수 있다.

만약 $K$가 체이며, $B$가 비퇴화 쌍선형 형식일 경우, ${\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)$이다. 그러나 예를 들어 만약 $\operatorname {char} K=2$일 때, 홀수 차원 $K$-벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 퇴화 대칭 쌍선형 형식이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 체 위에서,

$1_{n\times n}\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {F} _{2})\iff 2\mid n$

이지만, $B$가 (이차 형식에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식이라면

$B(v,1_{n\times n}v)=0$

이므로 항상 $1_{n\times n}\in {\mathfrak {o}}(n,B;\mathbb {F} _{2})$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthogonal Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “The Lie algebra of the orthogonal group O(n) (SO(n))”. 《MathPhys Archive》 (영어). 2011년 9월 27일.