베르누이 방정식

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유체 동역학에서 베르누이 방정식(Bernoulli's equation)은 이상 유체(ideal fluid)에 대하여, 유체에 가해지는 일이 없는 경우에 대해, 유체의 속도압력, 위치 에너지 사이의 관계를 나타낸 식이다. 이 식은 1738년 다니엘 베르누이가 그의 저서 《유체역학》(Hydrodynamica)에서 발표하였다.

베르누이 방정식은, 흐르는 유체에 대하여 유선(streamline) 상에서 모든 형태의 에너지의 합은 언제나 일정하다는 점을 설명하고 있다.

가정 및 한계[편집]

베르누이의 방정식은 비압축성 유동(incompressible flow)에 대해서만 유효하다. 대부분의 경우 액체는 그 밀도가 일정하다고 생각할 수 있다. 따라서 이런 경우 액체는 비압축성이고, 그 유동은 비압축성 유동으로 생각할 수 있다. 기체의 경우는, 그 유동 속도가 매우 낮아 유선에 따른 기체의 밀도 변화가 무시할 만큼 작은 경우에 비압축성으로 간주할 수 있다.

베르누이 방정식을 적용하기 위해서는 다음과 같은 가정이 만족되어야 한다.

  • 유체는 비압축성이어야 한다. 압력이 변하는 경우에도 밀도는 변하지 않아야 한다.
  • 유선이 경계층(boundary layer)을 통과하여서는 안 된다.
  • 점성력(viscous force)이 존재하지 않아야 한다.
  • 시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상상태, steady state)

형태[편집]

베르누이 방정식의 원래 형태는 다음과 같다.

 {p \over \rho} + {v^2 \over 2} + gh  = \mbox{constant}

여기서,

  •  v 는 유선 내 한 점에서의 유동 속도
  •  g 는 중력 가속도
  •  h 는 기준면에 대한 그 점의 높이
  •  p 는 그 점에서의 압력
  •  \rho 는 유체의 밀도

이다.

  • 위 식을 보면, 어떤 속도에서는 압력이 0이 되거나, 혹은 음수의 압력이 될 수도 있는 것처럼 보인다. 그러나 실제로 기체나 액체에서 0이나 음수의 압력은 있을 수 없고, 베르누이 방정식은 압력이 0이 되기 훨씬 전부터 적용이 불가해진다.
  • 또한 위 식을 보면, 속도의 제곱과 압력이 선형적인 관계에 있다. 실제 기체에서는 속도가 낮을 경우에만 이런 관계가 성립한다. 액체의 경우, 속도가 높아지면 캐비테이션(cavitation)과 같은 비선형 과정들이 발생한다. 기체의 경우, 속도가 높아지면 밀도가 달라져, 밀도가 일정하다는 가정이 맞지 않게 된다.

단순화된 형태[편집]

위 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 {\rho v^2 / 2} + \rho g h + p = q + \rho g h + p = \mbox{constant}

여기서,

 q \equiv {\rho v^2 / 2} 동압력(dynamic pressure)이라고 부른다.

베르누이 방정식을 실제로 쓸 때는, 유선(streamline) 상의 유동에서  \rho g h 가 0이거나 무시할 만큼 작은 경우가 많다. 이런 경우 위 식은 다음과 같이 간략해진다.

 p + q = p_0

여기에서  p_0 전압력(total pressure)이라 부르며,  p 는 전압력 및 동압력과 구별하기 위하여 정압력(static pressure)이라 부르는 경우가 많다. 또한, 보통 그냥 "압력"이라 하면 정압력을 지칭하는 경우가 많다.

따라서 단순화된 베르누이 방정식은 다음과 같이 요약될 수 있다.

정압력 + 동압력 = 전압력

즉, 베르누이 방정식은 "유선 상에서의 전압력은 일정하다"는 말로 해석될 수 있다. 또한 만약 그 유동이 한 곳에서 출발하였다면, "그 유동 내의 모든 점에서의 전압력은 일정하다"고 할 수 있다. 그러나 앞서도 언급하였듯이 이 식은 경계층 내에는 적용되지 않음을 기억하여야 한다.