푸앵카레 추측

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밀레니엄 문제

푸앵카레 추측4차원 초구의 경계인 3차원 구면의 위상학적 특징에 관한 다음과 같은 정리이다.

모든 경계가 없는 단일연결 콤팩트 3차원 다양체3차원 구면과 위상동형이다.

이 명제는 앙리 푸앵카레1904년 논문에 처음 등장하는 추측으로, 우주의 형태에 대한 추측과도 밀접한 관련이 있다. 추측이 제기된 이래로 100여 년이 지나 2002, 2003년에 발표된 러시아의 수학자 그리고리 페렐만의 출간되지 않은 논문들에서 증명되었다. 밀레니엄 문제 중 최초로 해결되었으며, 유일하게 해결된 문제이기도 하다.

푸앵카레 추측[편집]

위상기하학에서, 2차원 구면과 1차원 구면(원주)는 단일연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데 3차원 표면에서도 구에 대해 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다.

역사[편집]

5차원 이상에 대한 문제는 스티븐 스메일이 증명해 1966년 필즈상을 수상하였으며, 4차원에 대한 문제는 마이클 프리드먼이 증명해 1986년 필즈상을 수상하였다. 3차원에서의 해결은 3-다양체의 분류 문제의 중추인데 윌리엄 서스턴 박사가 3-다양체의 분류에 대한 연구로 1982년 필즈상을 수상해 이 추측이 3차원에서도 풀릴 수 있음을 간접적으로 증명하였다. 최종적으로는 이 추측의 해법을 2002년 그리고리 페렐만arXiv에 발표하였고[1][2][3], 국제 수학 연맹이 3년간의 분석 끝에 페렐만의 풀이를 인정하여 페렐만을 2006년 필즈상 수상자로 선정하였으나 페렐만은 수상을 거부하였으며, 같은 업적으로 페렐만은 2010년 3월 18일 밀레니엄상의 수상자로 선정되었으나[4] 밀레니엄상 역시 거부하였다.[5]

같이 보기[편집]

참고문헌[편집]

  1. Perelman, Grigori (2002년). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159.
  2. Perelman, Grigori (2003년). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math/0303109.
  3. Perelman, Grigori (2003년). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math/0307245.
  4. Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman
  5. Worlds cleverest man turns down $1million prize