4차원

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회전하는 사차원 초입방체를 삼차원에 영사한 애니메이션의 모습.
4차원에서 보이는 것.

4차원(四次元, 영어: four dimension)은 차원이 4인 것을 가리킨다. 4개의 차원이 있는 공간4차원 공간(四次元空間, 영어: four- dimensional space, 4D)이라고 부른다. 또한 여기서 말하는 공간은 물리적 공간에는 없다. 수학에서 유클리드 공간을 비롯해 벡터 공간다양체차원을 생각할 수 있는 공간은 다양하다. 일반적인 문장 표현에서 상황이 복잡하게 얽혀 각각의 관계성을 파악하기 힘든 모습을 가리켜 '4차원적인 관계'라고 형용할 수 있다.

4차원이란[편집]

어떤 집합 S의 한 점을 지정하는데 다른 4개의 집합에서 하나를 선택할 필요가 있을 때 S는 4차원이라고 한다. 4차원 유클리드 공간을 물리적 공간에 대한 묘사에서 살펴보면 다음과 같다. 2차원(면)은 1차원(선)을 그것과 독립적인 방향으로 정렬된 것이며 3차원(입체)은 2차원의 대상(면)을 한 것이기 때문에 4차원은 3차원의 대상(입체)을 그것과 독립적인 방향(시각에 의한 지각은 불가능)으로 정렬된 것으로 생각된다. 4번째 방향으로 공간 대신 시간 축을 취하면 3차원의 대상을 연속 이동할 때의 궤적을 4차원으로 생각할 수 있다.

4차원 도형의 예[편집]

4차원의 예[편집]

가까운 4차원에는 다음과 같은 것이 있다.

4차원의 성질[편집]

4차원에는 다음과 같은 성질이 있다.

  • 유클리드 공간에 이종 미분 구조가 있는 유일한 차원이다(도널드슨의 정리)
  • 2차원 구면의 반대가 (자체 교차 없이)있다.
  • 4차원을 2차원으로 나타내는 것은 3차원을 1차원으로 나타내는 것과 같다. 지금 이 페이지는 2차원 평면이므로 여기에 4차원을 정확히 그리기는 힘들지만 4차원의 성질로 유추해 봐야 한다.
  • 다음 표에서 4차원은 '공간 3차원 +시간 1차원' 이 아닌 '공간 4차원'으로 본다.
차원 0차원 1차원 2차원 3차원 4차원
입방체 모양 블럭 4차원 입방체
점(0차원)의 개수 1 2 4 8 16
선(1차원)의 개수 0 1 4 12 32
면(2차원)의 개수 0 0 1 6 24
공간(3차원)의 개수 0 0 0 1 8
4차원의 개수 0 0 0 0 1

물리학에서의 4차원[편집]

특수 상대성이론에 근거한 현대의 표준적인 역학, 전자기학, 양자장론은 공간 3차원, 시간 1차원의 민코프스키 시공에 의해 설명된다. 특수 상대성이론을 중력을 기술하도록 확장한 일반 상대성이론은 이 4차원 시공에 '곡선'을 도입하여 기술한다. 이처럼 현대 물리학의 기본 틀에서는, 우리가 존재하는 이 시공은 '공간 3차원 + 시간 1차원'의 4차원으로 취급한다.

픽션에서의 4차원[편집]

픽션 작품에서는 '시간을 4번째의 차원으로 한다' 는 설정이 많이 존재한다. H. G. 웰스의 소설 『타임머신』이나 '시간은 4번째의 차원이다.'라는 이론이 작중에 등장한다.

4차원 구면좌표계[편집]

구면좌표계[편집]

클라임쉘2.jpg

반지름이 n차원 (원~초구)의 초부피는

=(((-1/2)!)^n (r^n))/(Γ((n+2)/2))

이다. 여기서 감마 함수이다.

차원 초구의 겉부피는

이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 이고, 겉부피는 이다.

(예시: (n= 구면좌표계)(r= 반지름)) (((-1/2)!)^n (r^n))/(Γ((n+2)/2))
0차원 1차원 2차원 3차원 4차원 5차원 6차원 7차원 8차원 9차원 10차원
초구 초구 초구 초구 초구 초구 초구
1 2 r
클라임쉘.jpg
  • ∑n=0 to ∞ (((-1/2)!)^n (r^n)/(Γ((n+2)/2))) = e^(π r^2) (1 + erf((π)^1/2 r))
  • (r=(e) ∑r=0 to ∞ (1/r!)=e ) ); e^(π e^2)(erf((π)^1/2 e) + 1) =
      e^(e^2 π) erf(e (π)^1/2) + e^(e^2 π) = e^(π e^2) (erf((π)^1/2 e) + 1)

== 2.41258939382109634452755017445648438889641007476790432310252... × 10^10

참고 문헌[편집]

  • 오가사 에이시 『4차원 이상의 공간이 보인다』 (베레 출판, ISBN 978-4860641184) - 초보자를 위한 입문서

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]