르베그 덮개 차원
일반위상수학에서 르베그 덮개 차원(-次元, 영어: Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆次元) 또는 위상적 차원(영어: topological dimension)은 위상 공간을 얼마나 ‘효율적으로’ 덮을 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다.
정의
[편집]위상 공간 의 르베그 덮개 차원 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, 로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.[1]:Theorem 1
성질
[편집]단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)
임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.
정규 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
위상 공간 및 부분 집합 에 대하여, 만약 가 닫힌집합이거나,[2]:11, Proposition 2.11 가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.
정규 공간 및 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, 다음이 성립한다.[2]:25, Proposition 4.8 (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)
위상 공간 가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식
이 성립한다.
- 는 콤팩트 공간이다.[1]:214, Theorem 4
- 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 는 정규 하우스도르프 공간이며, 는 정규 공간이다.[3]:208, Theorem 3.4.6
- 는 거리화 가능 공간이며, 는 정규 하우스도르프 공간이며, 는 정규 공간이다.[3]:209–210, Theorem 3.4.9
다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.
다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.
정규 하우스도르프 공간 와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.[3]:182, Exercise 3.1.J
예
[편집]차원 유클리드 공간 의 르베그 덮개 차원은 이다. 보다 일반적으로, 임의의 차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 이다.
공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다.
르베그 덮개 차원이 인 공간은 공집합밖에 없다.
조르겐프라이 직선 의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 의 르베그 덮개 차원은 이다.[4]:2, Theorem 1
역사
[편집]앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다.
각주
[편집]- ↑ 가 나 다 Ostrand, Phillip A. (1971). “Covering dimension in general spaces”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 1 (3): 209–221. doi:10.1016/0016-660X(71)90093-6. ISSN 0016-660X. MR 0288741. Zbl 0232.54044.
- ↑ 가 나 Charalambous, Michael G. (2019). 《Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples》. Atlantis Studies in Mathematics (영어) 7. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-22232-1. ISBN 978-3-030-22231-4. ISSN 1875-7634. MR 3970309. Zbl 1471.54001.
- ↑ 가 나 다 라 Engelking, Ryszard (1995). 《Theory of dimensions finite and infinite》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 10. Heldermann Verlag: Lemgo. ISBN 3-88538-010-2. MR 1363947. Zbl 0872.54002.
- ↑ Sipacheva, Ol'ga (2021). “The covering dimension of the Sorgenfrey plane” (영어). arXiv:2110.08867. doi:10.48550/arXiv.2110.08867. arXiv 인용에서 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
- Menger, Karl (1928). 《Dimensionstheorie》 (독일어). 라이프치히: B. G. Teubner.
- Pears, A. R. (1975). 《Dimension Theory of General Spaces》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8.
- V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
외부 링크
[편집]- “Lebesgue dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.