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일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 영어: inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.
위상 공간
의 작은 귀납적 차원(영어: small inductive dimension)
는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수
이다.
- 임의의
및 열린 근방
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방
가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {cl} V\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2944e1cb57b8b9a308fec07c9b054f0098a20b67)
![{\displaystyle \operatorname {ind} \partial V\leq n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30e67420449f5ff4d75216dc2464a57e8a5f6b3)
위상 공간
의 큰 귀납적 차원(영어: large inductive dimension)
는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수
이다.
- 임의의 닫힌집합
의 열린 근방
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방
가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {cl} V\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2944e1cb57b8b9a308fec07c9b054f0098a20b67)
![{\displaystyle \operatorname {Ind} \partial V\leq n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64826f55edbb49a278420e7ceba1b4a23290c97)
공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게
이다.
T1 공간
또는 정칙 공간
의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3004eb17747ec02f3aeab68ce25b95ed46be20)
이다.[1]:9, Proposition 2.7
임의의 위상 공간
에 대하여,
![{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64285bc54ddaf87905fc16ccc2ede7061d64542a)
이다.[1]:18, Corollary 3.5 여기서
은 르베그 덮개 차원이다.
거리화 가능 공간
의 경우,
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \dim X=\operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431b6d7607ded60cf6bb44ecafe966392533841f)
이다.[2]:219, Theorem 10
린델뢰프 공간
의 경우,
![{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ea992a4a45c41909e2c57aa834dca189264635)
이다.[1]:27, Proposition 5.3
린델뢰프 완전 정규 공간
[1]:171 또는 완비 파라콤팩트(영어: completely paracompact) 완전 정규 공간
[3]:296, Theorem F2의 경우,
![{\displaystyle \dim X\leq \operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7737a9e0a50c80203618c776fc21dd89bef90ff8)
이다.
우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간
의 경우
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=\dim X=\operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e7e91d16157880f4cb702373f433934239c6cc)
이다.[4]:51, Theorem 1.7.7
위상 공간
및 부분 집합
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {ind} Y\leq \operatorname {ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c66c179d54c50d863020f724a6ec8ee677189a2)
이다.[1]:8, Proposition 2.3 만약 추가로
가 닫힌집합이거나,[1]:9, Proposition 2.6
가 완전 정규 공간이라면,[1]:21, Corollary 3.13
![{\displaystyle \operatorname {Ind} Y\leq \operatorname {Ind} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d349b825305d137fe5c5db5b30c0ac9b3c01178d)
이다.
완비 정규 공간
및 부분 집합
에 대하여, 만약
라면,
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \operatorname {ind} Y+\operatorname {ind} Z+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f1193fc307d3d3d8cef064a54db74c9312c589)
![{\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039a81057f1c847cc40516750ea39357291d374b)
이다.[5]:2203, 2206 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다.
위상 공간
및 닫힌집합
에 대하여, 만약
라면,
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq \max\{\operatorname {ind} Y,\operatorname {ind} Z\}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae452ed71f875f882f6b801c64bb0f7a034835f3)
이다.[5]:2203, (1) 만약 추가로
가 정규 공간이라면,
![{\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137e58a87e82292b575c38bd9446eee6cbe408bc)
이다.[5]:2206
제2 가산 정칙 공간
의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로
![{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} (X)+\operatorname {ind} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514da9bf647ef3a357c45964612f3f0dda1e3a21)
![{\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} (X)+\operatorname {Ind} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603f2cdfbc9cd779b94340180ea44d037693fa2c)
이다.
위상 공간
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
- 임의의 닫힌집합
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b559163c8a8e4a6703264e25a45ec0551b8427b)
- 임의의 닫힌집합
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b559163c8a8e4a6703264e25a45ec0551b8427b)
그렇다면,
![{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} X+\operatorname {ind} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb58857e2742e6eeacda6ea1a6b4e5c6a6f93cd)
이다.[5]:2203, (2) 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,[1]:Chapter 20 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.[1]:Chapter 14
위상 공간
에 대하여, 만약
이라면,
![{\displaystyle \operatorname {ind} (X\times Y)=\operatorname {ind} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4296ecbe1fe62031ce46437cb2deb8ffbd81f982)
이다.[1]:12, Exercise 2.27
콤팩트 하우스도르프 공간
에 대하여, 만약
이라면,
![{\displaystyle \operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54a413a2955ebb20c8ffe9e212438bd1bfe43ae)
이다.
위상 공간들의 집합
및 곱공간
![{\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48776cc06e3724b29ae2d5c9eccb1b7084f59e06)
에 대하여, 만약 모든
에 대하여
이라면,
이다.[1]:12, Exercise 2.28
정규 하우스도르프 공간
및 그 스톤-체흐 콤팩트화
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {Ind} X=\operatorname {Ind} \beta X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbb654e2aa57efa9ed660a0ed9c471f8c809c9b)
이다.[4]:137, Theorem 2.2.10
경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.
위상 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Proposition 2.9
![{\displaystyle \dim X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791015b08019c26cd66f6a9d28e447637cb038c)
![{\displaystyle \operatorname {Ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c04ed7b762a30142fc545ebcb0fdf0426caa8c0)
위상 공간
에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
- 만약
이라면,
는 완비 정칙 공간이다.
- 만약
이며,
가 콜모고로프 공간이라면,
는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
- 반대로, 만약
가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,
이다.[6]:362, Theorem 6.2.9
- 만약
이라면,
는 정규 공간이다.
- 만약
이며,
가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면,
이다.
- 반대로, 만약
이며,
가 린델뢰프 공간
이라면,
이다.
국소 콤팩트 하우스도르프 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[6]:362, Theorem 6.2.9
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
- 완전 분리 공간이다.
국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간
이 주어졌을 때,
는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서,
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[6]:362, Theorem 6.2.10
- 완전 분리 공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
![{\displaystyle \dim X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791015b08019c26cd66f6a9d28e447637cb038c)
작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, 영어: zero-dimensional space)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, 영어: strongly zero-dimensional space)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.
T1 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[6]:363, Theorem 6.2.16[7]:323, §f-6
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
- 두 점 이산 공간의 곱공간
의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서
는 열린닫힌집합들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.
![{\displaystyle \mu \colon X\to \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5375837488460e11441b3f5606aefb864c700dd)
![{\displaystyle \mu (x)_{U}={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a9ff0f47735d394bdf370ef1e2f181878fad47)
모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간)
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[4]:20, Theorem 1.3.15
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
는 칸토어 집합
의 부분 집합과 위상 동형이다.
는 무리수 집합
의 부분 집합과 위상 동형이다.
실수들의 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dafa340333e405247fe190b99ef2177355e3ff)
- (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.
뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} X<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2540957ddd0f555b8ad654fa9fb4300b935fb1)
는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.
사실, 모든
차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은
차원 유클리드 공간
에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:95, Theorem 1.11.5
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be12e00892e43dc6f62f08af4978fead538e9dcb)
는
의 부분 집합과 위상 동형이다.
위상 공간
에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} X=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb841c8d38cc28d7afc57ad402788bbf165ae7fc)
![{\displaystyle \dim X=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff5f3030287085a066e4cab203c839f04567f6)
![{\displaystyle \operatorname {Ind} X=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc886321824f0a9e7aeb12dabf61e6632daa5cc)
![{\displaystyle X=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af8fc701c3fb8064e7e0340ddfe7e2201795e17)
유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {R} ^{n}=\dim \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {R} ^{n}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424baddb469c1550c284b26d2fa2954cc6eab74f)
![{\displaystyle \operatorname {ind} \Delta _{n}=\dim \Delta _{n}=\operatorname {Ind} \Delta _{n}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ada669dd1c1ddceac89fb76b36d3ea3e770294)
![{\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {S} ^{n}=\dim \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {S} ^{n}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2545fb8a7370372831645007c82dab849f11514f)
보다 일반적으로, 임의의
차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은
이다.
의 작은·큰 귀납적 차원은
이다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\dim[0,1]^{\aleph _{0}}=\operatorname {Ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b4e559b50896cbf7c998260d654b18fa6b7cb3)
조르겐프라이 직선
및 조르겐프라이 평면
의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.[8]:2 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.[8]:2, Theorem 1
![{\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim S=\operatorname {Ind} S=\operatorname {ind} S\times S=\operatorname {Ind} S\times S=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620ed98c9cc2444366f43cbd21b8b3ba31d4e1e)
![{\displaystyle \dim S\times S=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7724866d670fa5fab0d7e3e16bc5be308a4e7)
이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.
거리화 가능 공간
에 대하여, 만약
![{\displaystyle |X|<2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c73e4df0bbcea0ead0978f5297c8f16e30178c)
라면,
이다.
임의의 점
및 열린 근방
가 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5707910935f685ff31b4f69671a955cc0457ffb4)
인
을 잡자.
이므로,
![{\displaystyle d(x,y)\neq s\forall y\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552dd413ff5be666f114ecd8ecf8508e223876f7)
인
이 존재한다. 따라서,
![{\displaystyle \partial \operatorname {ball} (x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c3318cd64637886323842b3bf5b799702cbb13)
이다.
순서 위상을 가한 전순서 집합
의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.[1]:12, Exercise 2.24
![{\displaystyle \operatorname {ind} X\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395fca8dd7074c761c1224b5beb5e86fecec6bda)
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