제2 가산 공간
일반위상수학에서 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.
정의
[편집]위상 공간 의 무게(영어: weight) 는 의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서는 정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)
위상 공간 에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.
성질
[편집]모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
증명:
거리화 가능 공간 에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.
우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다.
연산에 대한 닫힘
[편집]부분 공간
[편집]임의의 위상 공간 위의 기저 및 부분 집합 에 대하여, 는 위의 기저를 이룬다. 따라서
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
몫공간
[편집]제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 및 열린집합 에 대하여, 동치 관계
를 주었을 때, 몫공간 은 역시 제2 가산 공간이다.
곱공간
[편집]임의의 곱공간
및 각 위의 기저 에 대하여,
는 위의 기저를 이룬다. 따라서
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 에 대하여 개 이하의, 무게가 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 이하이다.
분리합집합
[편집]위상 공간들의 집합 의 분리합집합
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.
크기 관련 성질
[편집]제2 가산 공간의 열린집합의 수는 이하이다.
제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.
증명:
예
[편집]흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.
이산 공간
[편집]이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.
비이산 공간
[편집]비이산 공간 의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) 이다. 따라서, 비이산 공간 의 밀도는 다음과 같다.
특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.
제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간
[편집]긴 직선은 T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.
제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간
[편집]위상 공간
의 몫공간
을 생각하자. 는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 은 에서 국소 지표
를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.
참고 문헌
[편집]- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
외부 링크
[편집]- “Second axiom of countability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Second countable topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Second-countable space”. 《nLab》 (영어).
- “Second-countable space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Definition: second-countable space”. 《ProofWiki》 (영어).