스톤-체흐 콤팩트화

일반위상수학에서 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

정의

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CompHaus}$가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자

$U\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Top}$

가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

$\beta \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CompHaus}$

$\beta \dashv U$

이 경우, $\beta$를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, $\operatorname {CompHaus}$는 $\operatorname {Top}$의 반사 부분 범주를 이룬다.

구성

위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\mathcal {C}}(X,[0,1])$이 연속 함수 $X\to [0,1]$들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약 $X$가 티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.)

$\phi \colon X\to [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$

$\phi \colon x\mapsto (f(x))_{f\in {\mathcal {C}}(X,[0,1])}$

$[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,

$\phi (X)\subseteq [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$

의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) $X$의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.

$\beta X\cong \operatorname {cl} _{[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}\phi (X)$

성질

수반 함자의 단위원 $\eta \colon \operatorname {id} _{\operatorname {Top} }\Rightarrow U\circ \beta$로부터, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 표준적인 연속 함수

$\eta _{X}\colon X\to \beta X$

가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 $X$가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 $X$와 그 상 $\eta _{X}(X)$ 사이의 위상동형을 정의하며, $\eta _{X}(X)$는 $\beta X$의 조밀 집합을 이룬다. 만약 $X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 $\beta X$는 $X$와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자

$D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top}$

및 망각 함자

$|\cdot |\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$

가 주어졌다면, $|\cdot |\circ U\circ \beta \circ D$는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 $S$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(S)$에 대응하는 스톤 공간과 같다.

예

(순서 위상을 갖춘) 최소의 비가산 순서수 $\omega _{1}$의 스톤-체흐 콤팩트화는 $\omega _{1}+1$이다.

이산 공간

이산 공간 $X$의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$의 크기·무게·작은 귀납적 차원은 다음과 같다.

$|\beta X|=2^{2^{|X|}}$

$\operatorname {wt} (\beta X)=2^{|X|}$

$\operatorname {ind} (\beta X)=0$

특히, $\beta X$는 완전 분리 공간이다.

자연수의 이산 공간 $\mathbb {N}$의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta \mathbb {N}$은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.

• 임의의 무한 닫힌집합 $F\subset \beta \mathbb {N}$은 $\beta \mathbb {N}$과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.^{:175, Theorem 3.6.14}
• 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, $\beta \mathbb {N}$의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다.

역사

마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.

참고 문헌

• Shields, Allen (1987). “Years ago”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 9 (2): 61–63. doi:10.1007/BF03025901. ISSN 0343-6993. 
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998). 《Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) 27. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-025835-6. MR 1642231. 2015년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 1일에 확인함. 
• Walker, Russell C. (1974). 《The Stone–Čech compactification》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 83. Springer. doi:10.1007/978-3-642-61935-9. ISBN 978-3-642-61937-3. ISSN 0071-1136. 

외부 링크

• “Stone-Čech compactification”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cech-Stone compactification of omega”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Stone-Cech compactification”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terence (2009년 3월 18일). “245B, Notes 13: Compactification and metrisation (optional)”. 《What’s New》 (영어). 

같이 보기

• 알렉산드로프 콤팩트화