다포체

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다포체(多胞體, 영어: Polytope 폴리토프[*])는 다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리킨다. 차원에서 정의되는 다포체를 n차원 다포체(n-polytope)로 부른다. 예를 들어, 다각형은 2차원 다포체, 다면체는 3차원 다포체, 폴리코론은 4차원 다포체이다.

정의[편집]

다포체를 정의하는 방법은 다양하며 이 정의의 차이에 따라 포함하는 도형의 범위도 달라진다. 어떠한 경우는 다포체의 정의에 테셀레이션과 같은 무한한 크기의 도형을 포함하기도 하며, 또한 자기 자신을 통과하는 도형을 포함하는 경우도 존재한다.

차원에서 포의 수가 가장 적은 정다포체의 경우 한 이포각 의 크기가 72° 초과, 90° 미만이다. 그러므로 3개나 4개가 모일 수 있고, 두번째의 경우에는 무조건 90° 이므로 3개가 모이게 된다 (4개가 모이면 테셀레이션이 된다). 따라서 7차원이후로는 3 종류의 정다포체가 존재한다 (쪽매맞춤까지 포함하면 4개). 3번째 이후로는 한 이포각의 크기가 120°이상이라 이들로는 한 차원 높은 정다포체를 만들 수 없다 (단, 4차원 정다포체에서 정십육포체정이십사포체테셀레이션을 할 수 있다). 대신 차원의 수는 무수히 많이 늘릴 수 있으므로 5차원 이상의 정다포체의 개수는 무수히 많이 있다.

가장 일반적으로 사용하는 정의는 한 단계 아래의 다포체를 이용하는 것이다. 0차원 다포체는 이며, 1차원 다포체는 직선에서 점으로 범위를 제한한 도형, 2차원 다포체는 평면에서 1차원 다포체로 범위를 제한한 도형 등으로 구성한다. 즉, n차원 다포체는 차원 공간에서 차원 다포체로 범위를 제한한 도형을 가리키게 된다.

차원 영어 발음 -
임의 polytope 폴리토프 (다포체)
n n-polytope n-폴리토프 (n차원 다포체)
0 point 포인트
1 segment 세그멘트 선분
2 polygon 폴리곤 다각형
3 polyhedron 폴리헤드론 다면체
4 polychoron 폴리코론 다포체
5 polyteron 폴리테론
6 polypeton 폴리페톤
7 polyexon 폴리엑손
8 polyzetton 폴리제톤
9 polyyotton 폴리요톤
10 polyxetton 폴리세톤
11 polyggopton 폴리꼽톤

다포체를 여러 단체(simplex)를 서로 연결한 도형들의 집합으로 정의하는 경우도 있다. 이때 두 단체의 교집합은 반드시 점, 선, 면 등이어야 한다. 하지만 이 정의는 자기 자신을 통과하는 도형을 허용하지 않는다.

볼록 다포체는 다포체가 볼록 집합을 이루는 경우로 정의한다. 이외에도 유한 개의 점에 대한 최소볼록집합으로 정의할 수 있지만,[1] 이 경우 유계인 다포체만 고려한다는 가정을 포함한다.

출처[편집]

  1. Grünbaum, Branko (2003). 《Convex polytopes (2nd ed.)》. New York & London: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00424-6. 

같이 보기[편집]