벌집 (기하학)

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기하학에서, 벌집(영어: honeycomb)은 다면체 또는 고차원 세포로 빈틈없는 공간 채우기(space filling) 또는 밀집 채우기(close packing)이며, 수학적 쪽매맞춤,타일링 또는 테셀레이션의 모든 차원으로 확장한 것의 예시이다. 그 차원은 n차원 공간의 벌집을 n-벌집으로 구분해 준다.

벌집은 보통 일반적인 유클리드 ("평평한") 공간에 만들 수 있다. 쌍곡 벌집(hyperbolic honeycomb) 같이 비유클리드 공간에서 만들 수 있다. 어떤 유한한 고른 다포체는 그 외접구로 투영해서 구면 공간의 고른 벌집을 생성할 수 있다.

평면을 다각형의 꼭짓점이 그 귀퉁이에서 만나지 않게 채울 수 있다. 그 예시는 벽의 벽돌 패턴처럼 직사각형을 사용할 수 있다. 하지만 이 패턴은 귀퉁이가 이웃한 다각형의 모서리에 부분적으로 놓여 있기 때문에 적절한 타일링이 아니다. 비슷하게, 적절한 벌집에서는 반드시 모서리나 꼭짓점이 면에 놓여 있어서는 안 된다. 각각의 벽돌의 면을 두 내각이 180도인 육각형으로 해석하면 패턴으로 해석하면 적절한 타일링으로 볼 수 있다. 하지만, 모든 기하학자들이 이런 육각형을 인정하지는 않는다.

분류[편집]

부분적으로만 분류된 벌집은 무한히 있다. 더 정규적인 것은 가장 흥미를 끌지만 다른 것들의 풍부하고 다양한 구색들이 계속해서 발견된다.

만들기 가장 간단한 벌집은 평면의 테셀레이션에 기반한 각기둥의 층이나 을 쌓아서 만드는 것이다. 특히 모든 평행육면체는 특별한 정육면체 벌집으로 공간을 채울 수 있다. 이 벌집이 특별한 이유는 일반적인 (유클리드) 공간에서 유일한 정규 벌집이기 때문이다. 다른 흥미로운 족은 힐 사면체와 그 일반화로 마찬가지로 공간 타일링을 할 수 있다.

자기쌍대 벌집[편집]

벌집도 자기쌍대가 될 수 있다. 모든 슐레플리 기호가 {4,3n−2,4}인 n-차원 초입방체 벌집은 자기쌍대이다.

같이 보기[편집]

더 읽어보기[편집]

  • Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes.
  • Critchlow, K.: Order in space.
  • Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
  • Goldberg, Michael Three Infinite Families of Tetrahedral Space-Fillers Journal of Combinatorial Theory A, 16, pp. 348–354, 1974.
  • Goldberg, Michael The space-filling pentahedra, Journal of Combinatorial Theory, Series A Volume 13, Issue 3, November 1972, Pages 437-443 [1]
  • Goldberg, Michael The Space-filling Pentahedra II, Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
  • Goldberg, Michael On the space-filling hexahedra Geom. Dedicata, June 1977, Volume 6, Issue 1, pp 99–108 [2]
  • Goldberg, Michael On the space-filling heptahedra Geometriae Dedicata, June 1978, Volume 7, Issue 2, pp 175–184 [3]
  • Goldberg, Michael Convex Polyhedral Space-Fillers of More than Twelve Faces. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
  • Goldberg, Michael On the space-filling octahedra, Geometriae Dedicata, January 1981, Volume 10, Issue 1, pp 323–335 [4] PDF
  • Goldberg, Michael On the Space-filling Decahedra. Structural Topology, 1982, num. Type 10-II PDF
  • Goldberg, Michael On the space-filling enneahedra Geometriae Dedicata, June 1982, Volume 12, Issue 3, pp 297–306 [5]

외부 링크[편집]

기본적인 2-10차원의 볼록 정벌집고른 벌집
공간 / /
E2 고른 타일링 {3[3]} δ3 3 3 정육각형
E3 볼록한 고른 벌집 {3[4]} δ4 4 4
E4 고른 4-벌집 {3[5]} δ5 5 5 정이십사포체 벌집
E5 고른 5-벌집 {3[6]} δ6 6 6
E6 고른 6-벌집 {3[7]} δ7 7 7 222
E7 고른 7-벌집 {3[8]} δ8 8 8 133331
E8 고른 8-벌집 {3[9]} δ9 9 9 152251521
E9 고른 9-벌집 {3[10]} δ10 10 10
En-1 고른 n-벌집 {3[n]} δn n n 1k22k1k21