호소헤드론

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n각 호소헤드론의 집합
Hexagonal Hosohedron.svg
구면에서 육각 호소헤드론을 예시로 들었다
종류 정다면체 또는 구면 타일링
이각형 n
모서리 n
꼭짓점 2
χ 2
꼭짓점 배치 2n
위토프 기호 n | 2 2
슐레플리 기호 {2,n}
콕서터 다이어그램 CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png
대칭군 Dnh, [2,n], (*22n), 4n차
회전군 Dn, [2,n]+, (22n), 2n차
쌍대다면체 이면체
비치볼은 말단의 원이 없으면 여섯 개의 달꼴 면으로 이루어진 호소헤드론을 나타낸다.

기하학에서, n 호소헤드론은 각 달꼴이 두 반대쪽 극에 있는 꼭짓점을 공유하는 구면에서 달꼴로 이루어진 테셀레이션이다.

n각 호소헤드론은 슐레플리 기호 {2, n}를 가지고, 각각의 구면 달꼴내각2π/n 라디안 (360/n 도)이다.[1][2]

정다면체에서 호소헤드론[편집]

슐레플리 기호가 {mn}인 정다면체에서, 다각형 면의 수는 다음으로 찾을 수 있다:

플라톤의 다면체m ≥ 3이고 n ≥ 3일 때만 정수해를 가진다. 제한 m ≥ 3은 다각형 면은 반드시 최소 세 개 이상의 변을 가져야 한다는 것을 강조한다.

다면체를 구면 타일링으로 생각할 때, 이 제한은 완화될 수 있다; 이각형 (2각형)을 면적이 영이 아닌 구면 달꼴로 나타낼 수 있다. m = 2를 허락함으로써 새로운 정다면체의 무한한 부류, 호소헤드론을 허락하게 한다. 구면에서, 다면체 {2, n}은 n개의 맞닿는 내각이 2π/n인 달꼴로 표현된다. 이 모든 달꼴들은 꼭짓점 두 개를 공통으로 가진다.

Trigonal hosohedron.png
구면에서 구면 달꼴 3개의 테셀레이션으로 나타낸 정삼각 호소헤드론 {2,3}.
4hosohedron.svg
구면에서 구면 달꼴 4개의 테셀레이션으로 나타낸 정사각 호소헤드론.
정호소헤드론족 (꼭짓점 2개)
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
그림 Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png Spherical hendecagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png
{2,n} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
콕서터 CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png

Kaleidoscopic 대칭[편집]

2n각 호소헤드론 {2,2n}의 이각형 (달꼴)면은 삼차원의 이면체 대칭의 기본 삼각형을 나타낸다: Cnv, [n], (*nn), 2n. 반사 영역은 교대로 칠한 달꼴을 거울상으로 나타낼 수 있다. 달꼴을 두개의 구면 삼각형으로 이등분하면 쌍각뿔을 만들고 이면체 대칭 Dnh, 4n차를 정의한다.

대칭 C1v, [ ] C2v, [2] C3v, [3] C4v, [4] C5v, [5] C6v, [6]
호소헤드론 {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
기본 영역 Spherical digonal hosohedron2.png Spherical square hosohedron2.png Spherical hexagonal hosohedron2.png Spherical octagonal hosohedron2.png Spherical decagonal hosohedron2.png Spherical dodecagonal hosohedron2.png

스타인메츠 다면체와의 관계[편집]

사각 호소헤드론은 서로 수직인 원기둥 두 개의 교차다면체인 바이실린더 스타인메츠 다면체와 위상적으로 같다.[3]

파생 다면체[편집]

n각 호소헤드론 {2, n}의 쌍대n각형 이면체 {n, 2}이다. 다면체 {2,2}는 자기쌍대이고, 호소헤드론이면서 이면체이다.

호소헤드론은 다른 다면체에서 깎은 변형을 만들어낼 때 처럼 수정될 수 있다. 깎은 n각 호소헤드론은 n각기둥이다.

무한각 호소헤드론[편집]

극한에서 호소헤드론은 2차원 테셀레이션으로 무한각 호소헤드론이 된다:

Apeirogonal hosohedron.png

호소토프[편집]

다차원의 해석은 일반적으로 호소토프라고 불린다. 슐레플리 기호가 {2,p,...,q}인 정호소토프는 꼭짓점이 두 개고, 각각은 꼭짓점 도형 {p,...,q}을 가진다.

이차원 호소토프 {2}는 이각형이다.

어원[편집]

“호소헤드론”이라는 용어는 H.S.M. Coxeter에 의해서 제시되었고, 아마도 그리스어 ὅσος (hosos) “많은”에서 파생되었을 것이다, 호소헤드론의 아이디어는 “원하는 만큼 많은 면을 가질 수 있다”는 것이다.[4]

같이 보기[편집]

참조[편집]

  1. Coxeter, Regular polytopes, p. 12
  2. Abstract Regular polytopes, p. 161
  3. Weisstein, Eric Wolfgang. “Steinmetz Solid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  4. Steven Schwartzman (1994년 1월 1일). 《The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English》. MAA. 108–109쪽. ISBN 978-0-88385-511-9. 

외부 링크[편집]