쌍각뿔

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정 쌍각뿔의 집합
hexagonal bipyramid
(육각형 형태를 예시로 들었다)
콕서터 다이어그램 CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png
슐레플리 기호 { } + {n}
2n 삼각형
모서리 3n
꼭짓점 2 + n
면 배치 V4.4.n
대칭군 Dnh, [n,2], (*n22), 4n
회전군 Dn, [n,2]+, (n22), 2n
쌍대다면체 n각기둥
특성 볼록, 면추이
전개도 쌍n각뿔의 전개도, 여기서는 오각쌍뿔을 예로 들었다
빨대고무줄로 만든 쌍각뿔이다. 축의 빨대는 이것이 단순한 다면체로 존재하지 않기 때문에 추가했다

n쌍각뿔n각기둥과 그 거울상을 밑면에서 밑면끼리 연결하여 생긴 다면체이다. 쌍n각뿔은 2n개의 삼각형 면과 3n개의 모서리, 그리고 2 + n개의 꼭짓점을 가진다.

쌍각뿔의 이름에 쓰였던 n각형은 외부의 면이 아니라 내부의 면이다. 두 각뿔 절반을 연결하는 주 대칭면에 존재한다.

정-, 불규칙- 그리고 오목 쌍각뿔[편집]

정 쌍각뿔의 두 꼭짓점은 그 밑면의 중심의 위와 아래에 존재한다. 정 쌍각뿔이 아닌 쌍각뿔은 불규칙 쌍각뿔이라고 부른다. 정 쌍각뿔정다각형의 내부의 면을 가지고 대부분 직 쌍각뿔의 의미를 내포한다. 직 쌍각뿔은 내부의 다각형 P에 대해서 { } + P라고 나타낼 수 있고, 정 쌍n각뿔은 { } + {n}으로 나타낼 수 있다.

오목 쌍각뿔은 오목한 내부의 다각형을 가진다.

Concave quadrilateral bipyramid.png

면추이 정 쌍각뿔은 고른 각기둥쌍대다면체이고, 일반적으로 이등변삼각형 면을 가진다.

구나 지구의에 쌍각뿔은 에서 극으로 가는 n개의 등간격의 경도적도를 따라 이등분 하는 선으로 투영될 수 있다.

구면 삼각형으로 투영된 쌍각뿔 들은 이면체 대칭 Dnh의 기본 영역을 나타낸다.

부피[편집]

쌍각뿔의 부피V =2/3Bh 이며, B는 밑면의 넓이이고 h는 밑면에서 꼭대기 까지의 높이이다. 이 공식은 꼭대이의 위치에 관계없이, h가 밑면을 포함하는 평면에 수직한 거리로 측정되었으면 성립한다.

따라서 밑면이 변의 길이가 s인 정n각형으로 이루어졌고 높이가 h인 쌍각뿔의 부피는 다음과 같다:

정삼각형 쌍각뿔[편집]

세 종류의 쌍각뿔만이 모든 모서리의 길이가 같을 수 있다 (이것은 모든 면이 정삼각형이라는 것을 암시하며 따라서 쌍각뿔은 삼각형다면체이다): 삼각, 사각, 그리고 오각쌍뿔이다. 모서리의 길이가 동일한 삼각이나 오각쌍뿔은 존슨의 다면체(J12과 J13)로 계수되는 반면, 모서리의 길이가 동일한 사각쌍뿔, 또는 정팔면체플라톤의 다면체로 계수한다..

Triangular dipyramid.png Octahedron.svg Pentagonal dipyramid.png
삼각쌍뿔 사각쌍뿔
(정팔면체)
오각쌍뿔

Kalidescopic 대칭[편집]

밑면이 정다각형이고 꼭대기들을 통과하는 선이 밑면의 중심을 통과할 때, n각쌍뿔의 대칭군은 4n차의 이면체 대칭 Dnh를 가진다. 예외적으로 정팔면체의 경우는 더 큰 48차의 정팔면체 대칭군 Oh을 가지고 세 종류의 D4h을 부분군으로 가진다. 회전군은 2n차의 Dn를 가지고, 정팔면체는 더 큰 24차의 대칭군 O를 가지며 세 종류의 D4를 부분군으로 가진다.

구면 2n각쌍뿔의 이각형 면은 삼차원의 이면체 대칭의 기본 영역을 나타낸다: Dnh, [n,2], (*n22), 4n차. 반사 영역은 교대로 색칠된 삼각형을 거울상으로 볼 수 있다.

D1h D2h D3h D4h D5h D6h ...
Spherical digonal bipyramid2.png Spherical square bipyramid2.png Spherical hexagonal bipyramid2.png Spherical octagonal bipyramid2.png Spherical decagonal bipyramid2.png Spherical dodecagonal bipyramid2.png

직 정쌍각뿔[편집]

쌍각뿔
다면체 Triangular bipyramid.png Square bipyramid.png Pentagonale bipiramide.png Hexagonale bipiramide.png Heptagonal bipyramid.png Octagonal bipyramid.png Enneagonal bipyramid.png Decagonal bipyramid.png
콕서터 CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel node.png
타일링 Spherical digonal bipyramid.png Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid.png Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Spherical enneagonal bipyramid.png Spherical decagonal bipyramid.png
배치 V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4

부등변 다면체[편집]

부등변 다면체는 위상적으로 2n각쌍뿔과 같으나 동일한 부등변삼각형들로 이루어져있다.

두 종류가 존재하는데, 한 종류는 중심 주변의 2n개의 꼭짓점이 위아래로 교대된 고리를 이루고, 다른 종류는 꼭짓점 2n개는 같은 평면에 있지만 두 반지름이 교대되어있다.

첫 번째는 둘레에 있는 모서리의 중점의 2-fold 회전축과, 꼭짓점을 통한 대칭면, 그리고 그 축의 n-fold 회전대칭을 가지며, 대칭 Dnd, [2+,2n], (2*n), 2n차를 나타낸다. 결정학에서, 변이 8개와 12개가 있는 부등변다면체가 존재한다.[1] 이 모든 형태는 점추이이다.

두 번째는 대칭 Dn, [2,n], (*nn2), 2n차를 가진다.

가장 작은 부등변다면체는 면이 8개이고 위상적으로 정팔면체와 동일하다. 두번째 종류는 마름모 쌍각뿔이다. 첫번째 종류는 (0,0,±1), (±1,0,z), (0,±1,−z)으로 나타나는 꼭짓점 6개를 가진다. 여기서 z는 0과 1사이의 변수이며, z = 0 일 때 정팔면체를 만들고, z = 1일 때는 동일한 면에 있는 면을 병합하면 맞붙인 쐐기꼴이 된다. z > 1일 때, 이것은 오목해진다.

4-부등변 다면체의 기하학적 변형
z = 0.1 z = 0.25 z = 0.5 z = 0.95 z = 1.5
4-scalenohedron-01.png 4-scalenohedron-025.png 4-scalenohedron-05.png 4-scalenohedron-095.png 4-scalenohedron-15.png

별 쌍각뿔[편집]

자기 교차하는 쌍각뿔은 별 다각형을 중심도형으로 가져서 존재하고, 각각의 다각형 변을 이 두 점으로 연결하는 삼각형 면으로 정의되었다. {p/q} 쌍각뿔은 콕서터 다이어그램 CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png를 가진다.

5/2 7/2 7/3 8/3 9/2 9/4 10/3 11/2 11/3 11/4 11/5 12/5
Pentagram Dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
7-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
7-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
8-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
9-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
9-4 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
11-2 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
11-3 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png
11-4 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
11-5 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png
12-5 dipyramid.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png

면추이 짝수 변의 별은 다음 {8/3} 형태와 같이 비평면 지그재그형 꼭짓점, 안팎 변추이 형태, 또는 둘 다로 만들어질 수 있다:

정다각형 지그재그 정다각형 변추이 지그재그 변추이
8-3 dipyramid.png 8-3-bipyramid zigzag.png 8-3-bipyramid-inout.png 8-3-dipyramid zigzag inout.png


참조[편집]

  1. “Crystal Form, Zones, Crystal Habit”. 《Tulane.edu》. 2017년 9월 16일에 확인함. 

서지학[편집]

  • Anthony Pugh (1976). 《Polyhedra: A visual approach》. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

외부 링크[편집]