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콕서터 군

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군론에서 콕서터 군(Coxeter群, 영어: Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 이다. 단순 리 군바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

정의

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콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있는 이다.

여기서 행렬 는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

  • (). 여기서 인 경우는 의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 행렬 을 콕서터 군의 콕서터 행렬(Coxeter行列, 영어: Coxeter matrix)이라고 하고, 을 콕서터 군의 계수(階數, 영어: rank)라고 한다. 순서쌍 콕서터 계(Coxeter系, 영어: Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표

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콕서터 군의 콕서터 행렬 은 다른 방법으로 표기할 수 있다.

콕서터 도표(Coxeter圖表, 영어: Coxeter diagram)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 가 붙은 그래프이다.

  • 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
  • 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다.
    • 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다.
    • 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 인 경우에는 변을 그리되, 를 통상적으로 생략한다.
    • 인 경우 통상적으로 변 및 의 값을 생략하지 않는다.

콕서터 행렬 에 대응하는 슐레플리 행렬(영어: Schläfli matrix) 의 성분은 다음과 같다.

즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 의 분모 를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다.

예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예
콕서터 군 A1×A1 A2 Ĩ1 A3 BC3 D4 Ã3
콕서터 도표
콕서터 행렬
슐레플리 행렬
슐레플리 행렬의 고윳값 2, 2 1, 3 0, 4 2, 2±√2 2, 2±√3 2, 2, 2±√3 0, 2, 2, 4
분류 유한 유한 아핀 유한 유한 유한 아핀

콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

성질

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크기

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유한 콕서터 군의 크기 는 그 콕서터 수 와 다음과 같이 관계있다.[1]:233

  • [p]: 2h/gp = 1
  • [p,q]: 8/gp,q = 2/p + 2/q -1
  • [p,q,r]: 64h/gp,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
  • [p,q,r,s]: 16/gp,q,r,s = 8/gp,q,r + 8/gq,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

호몰로지

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콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.[2][3][4]

불변량

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계수 의 유한 콕서터 군 차원 (실수) 벡터 공간 위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, 의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 의 생성원들의 수는 군의 계수 이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 영어: fundamental invariant)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다.

  • 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 이며, 최솟값은 2이다.
  • 차수 의 생성원이 존재한다면, 차수 의 생성원 역시 존재한다.

콕서터 원소

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반사 으로 생성되는 콕서터 군 콕서터 원소는 다음과 같은 꼴의 원소이다.

물론, 이는 순열 에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 콕서터 수(Coxeter數, 영어: Coxeter number)라고 한다.

길이 함수

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콕서터 군 위에는 다음과 같은 콕서터 길이 함수가 존재한다.

이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 위에 여려 부분 순서를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다.

분류

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유한 콕서터 군

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유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다.

기호 다른 기호 콕서터 표기법 콕서터 도표 크기 콕서터 수 h 관련 폴리토프 기본 불변량들의 차수
An An [3n-1] (n + 1)! n + 1 n-단체 2, 3, 4, …, n + 1
BCn Cn [4,3n-2] 2n n! 2n n-초입방체 / n-cross-polytope 2, 4, 6, …, 2n
Dn Bn [3n-3,1,1] 2n−1 n! 2n − 2 n-demihypercube 2, 4, 6, …, 2n − 2
E6 E6 [32,2,1] 72×6! 12 221, 122 2, 5, 6, 8, 9, 12
E7 E7 [33,2,1] 72×8! 18 321, 231, 132 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8 E8 [34,2,1] 192×10! 30 421, 241, 142 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 F4 [3,4,3] 1152 12 24-cell 2, 6, 8, 12
H3 G3 [3,5] 120 10 정이십면체 / 정십이면체 2, 6, 10
H4 G4 [3,3,5] 14400 30 120-cell / 600-cell 2, 12, 20, 30
I2(p) D2p [p] 2p p p각형 2, p

위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다.

또한, 을 작은 에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다.

바일 군은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건(結晶條件, 영어: crystallographic condition)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, 또는 인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다.

  • . 이들은 리 군 의 바일 군이다.
  • , ,
  • . 이는 의 바일 군이다.

유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다.

아핀 콕서터 군

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아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

기호 비트 기호 콕서터 기호 관련 테셀레이션 콕서터 도표
Pn+1 [3[n]] 단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb)
Sn+1 [4,3n-3,31,1] 반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤
Rn+1 [4,3n−2,4] 하이퍼큐브 쪽매맞춤
Qn+1 [ 31,1,3n−4,31,1] demihypercubic honeycomb
T7 [32,2,2] 222
T8 [33,3,1] 331, 133
T9 [35,2,1] 521, 251, 152
U5 [3,4,3,3] 16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤
V3 [6,3] 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤
W2 [∞] 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤

아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.

쌍곡선 콕서터 군

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쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.

역사

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해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다.[5][6] 이후 자크 티츠니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.

각주

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  1. Coxeter, H. S. M. (1948). 《Regular polytopes》 (영어). Methuen and Company. 
  2. Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965년 3월 15일). “On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups”. 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 (영어) 11 (2): 155–171. ISSN 0368-2269. Zbl 0136.28802. 
  3. Yokonuma, Takeo (1965년 3월 15일). “On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups”. 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 (영어) 11 (2): 173–186. ISSN 0368-2269. Zbl 0136.28803. 
  4. Howlett, Robert B. (1988). “On the Schur Multipliers of Coxeter Groups”. 《Journal of the London Mathematical Society》. 2 (영어) 38 (2): 263–276. doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263. Zbl 0627.20019. 
  5. Coxeter, H. S. M. (1934년 7월). “Discrete groups generated by reflections” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 35 (3): 588–621. doi:10.2307/1968753. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968753. 
  6. Coxeter, H. S. M. (1935). “The complete enumeration of finite groups of the form ”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 10 (1): 21–25. doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21. ISSN 0024-6107.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 55) (도움말)

같이 보기

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외부 링크

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