엇각기둥

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고른 엇각기둥의 집합
엇육각기둥
종류 고른 다면체
n각형 2개, 삼각형 2n
모서리 4n
꼭짓점 2n
콘웨이 다면체 표기법 An
꼭짓점 배치 3.3.3.n
슐레플리 기호 s{2,2n}
sr{2,n}
{ } ⊗ {n}
콕서터 다이어그램 CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel n.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.png
대칭군 Dnd, [2+,2n], (2*n), 4n
회전군 Dn, [2,n]+, (22n), 2n
쌍대다면체 엇각쌍뿔
특성 볼록, 점추이 반정다면체
전개도 Generalized antiprisim net.svg

기하학에서, n각의 엇각기둥은 평행하고 동일한 n각형 두 개를 교대로 이루어진 삼각형의 띠로 연결된 다면체이다. 엇각기둥은 기둥다면체의 부분이고 (불가능한 종류의) 다듬은 다면체이다.

엇각기둥은 밑면이 서로 꼬여있다는 것과 옆면이 사각형이 아니라 삼각형인 것을 제외하고는 각기둥과 동일하다.

n각형 밑면의 경우에는, 보통은 복사본이 180°/n도만큼 뒤틀린 경우로 생각한다. 추가 정규성은 밑면의 중심을 잇는 선이 밑면과 수직일 때 얻어지고, 그러면 이 각기둥은 직엇각기둥이 된다. 면에 대해서는, n각형의 밑면 2개와 그 둘을 연결하는 2n개의 이등변 삼각형이 있다.

고른 엇각기둥[편집]

고른 엇각기둥은 밑면을 제외하고 정삼각형 2n개를 면으로 가진다. 그룹에서는 고른 각기둥처럼 고른 엇각기둥은 무한한 점추이 고른 다면체의 급수를 만든다. n = 2일 때, 불가능한 경우로 정사면체엇이각기둥으로 보고, n = 3일 때는 불가능하지 않은 정팔면체엇삼각기둥으로 본다.

엇각기둥의 쌍대다면체엇각쌍뿔이다. 이것의 존재성은 요하네스 케플러에 의해 토론되었으며 이름도 마찬가지로 케플러에 의해 지어졌고, 이전에 아르키메데스가 아르키메데스 다면체와 같은 꼭짓점 조건을 만족시키는 것으로 알려져있었을 가능성도 있다.

슈미겔 다이어그램[편집]

3-cube t2.svg
A3
Square antiprismatic graph.png
A4
Pentagonal antiprismatic graph.png
A5
Hexagonal antiprismatic graph.png
A6
Heptagonal antiprism graph.png
A7
Octagonal antiprismatic graph.png
A8

직교 좌표[편집]

n각영 밑면과 이등변삼각형을 가지는 직엇각기둥의 꼭짓점의 직교 좌표는 다음과 같다:

k는 0에서 2n − 1까지의 정수이다; 삼각형이 정삼각형일 경우에는 다음과 같다:

관련 다면체[편집]

낮은 대칭 형태의 깎은 정팔면체(깎은 엇삼각기둥)를 포함하는 무한한 깎은 엇각기둥의 집합이 존재한다. 이것들은 다듬은 엇각기둥을 만들기 위해서 교대될 수 있다. 깎은 엇각기둥 중 둘은 존슨의 다면체이고, 다듬은 엇삼각기둥은 낮은 대칭의 정십이면체이디.

엇각기둥
Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png ...
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,2n}
깎은 엇각기둥
Truncated digonal antiprism.png Truncated octahedron prismatic symmetry.png Truncated square antiprism.png Truncated pentagonal antiprism.png ...
ts{2,4} ts{2,6} ts{2,8} ts{2,10} ts{2,2n}
다듬은 엇각기둥
J84 정이십면체 J85 불규칙...
Snub digonal antiprism.png Snub triangular antiprism.png Snub square antiprism colored.png Snub pentagonal antiprism.png ...
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10} ss{2,2n}

대칭[편집]

밑면이 정n각형이고 옆면이 이등변삼각형인 직 엇각기둥의 대칭군은 4n차 Dnd이나, 정사면체의 경우에는 D2d의 세 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 대칭군 Td을 가지고, 정팔면체는 D3d의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 48차 대칭군 Oh을 가진다.

대칭군은 n이 홀수일 때만 점대칭을 포함한다.

회전군은 2n차 Dn이고, 정사면체의 경우는 D2의 세 형태를 부분군으로 가지는더 큰 12차 회전군 T를 가지고, 정팔면체는 D3의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 회전군 O를 가진다.

별모양 엇각기둥[편집]

Pentagrammic antiprism.png
5/2-엇각기둥
Pentagrammic crossed antiprism.png
5/3-엇각기둥
Antiprism 9-2.png
9/2-엇각기둥
Antiprism 9-4.png
9/4-엇각기둥
Antiprism 9-5.png
9/5-엇각기둥
이것은 변의 개수가 15까지의 모든 별모양이 아닌 엇각기둥과 별모양 엇각기둥을 29각형의 엇각기둥과 함께 나타내었다.

별모양 고른 엇각기둥은 밑면인 별 다각형 {p/q}으로 이름이 결정되고, 순방향과 역방항(교차된) 솔루션이 나온다. 교차된 형태는 교차된 꼭짓점 도형을 가지고 p/q 대신에 역방향 분수 p/(p - q)를 사용한다. 예를 들면 5/2 대신에 5/3을 쓴다.

순방향이 아닌 역방향 형태에서는, 별모양 밑변에 접하는 삼각형은 회전 대칭축과 교차한다.

별 정다각형을 밑면으로 가지는 일부 역방항 별 엇각기둥은 모서리의 길이가 같아질 수 없어서, 고른 다면체가 될 수 없다. 별 엇각기둥 결합물은 pq를 공통으로 가지도록 만들 수 있다; 따라서 10/4 엇각기둥은 두 5/2 별 엇각기둥의 결합이다.

12까지의 대칭에 따른 고른 별모양 엇각기둥이다
대칭 별모양
d5h
[2,5]
(*225)
Pentagrammic antiprism.png
3.3.3.5/2
d5d
[2+,5]
(2*5)
Pentagrammic crossed antiprism.png
3.3.3.5/3
d7h
[2,7]
(*227)
Antiprism 7-2.png
3.3.3.7/2
Antiprism 7-4.png
3.3.3.7/4
d7d
[2+,7]
(2*7)
Antiprism 7-3.png
3.3.3.7/3
d8d
[2+,8]
(2*8)
Antiprism 8-3.png
3.3.3.8/3
Antiprism 8-5.png
3.3.3.8/5
d9h
[2,9]
(*229)
Antiprism 9-2.png
3.3.3.9/2
Antiprism 9-4.png
3.3.3.9/4
d9d
[2+,9]
(2*9)
Antiprism 9-5.png
3.3.3.9/5
d10d
[2+,10]
(2*10)
Antiprism 10-3.png
3.3.3.10/3
d11h
[2,11]
(*2.2.11)
Antiprism 11-2.png
3.3.3.11/2
Antiprism 11-4.png
3.3.3.11/4
Antiprism 11-6.png
3.3.3.11/6
d11d
[2+,11]
(2*11)
Antiprism 11-3.png
3.3.3.11/3
Antiprism 11-5.png
3.3.3.11/5
Antiprism 11-7.png
3.3.3.11/7
d12d
[2+,12]
(2*12)
Antiprism 12-5.png
3.3.3.12/5
Antiprism 12-7.png
3.3.3.12/7
...

같이 보기[편집]

참조[편집]

  • Anthony Pugh (1976). 《Polyhedra: A visual approach》. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
  1. Kabai, Sándor. “One World Trade Center Antiprism”. Wolfram Demonstrations Project. 2013년 10월 8일에 확인함. 

외부 링크[편집]