다각형

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

기하학에서 다각형(多角形)은 한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로이다. 다각형(多角形)이라는 말을 글자 그대로 해석하면 각이 많은 모양(도형)이라는 뜻이다. 다각형을 이루는 각각의 선분들을 그 다각형의 변이라 하고, 변의 끝점을 꼭지점이라 한다. 단순한 다각형의 경우 그 변들의 합집합은 다각형 영역의 경계를 이룬다. 다각형은 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 이름붙인다.

다각형의 집합들 사이의 포함관계

분류[편집]

다각형의 집합은 특정한 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 여러 부분집합으로 나눌 수 있다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

  • 변들이 꼭지점에서만 만나는 다각형을 단순한 다각형이라 한다.
  • 180°가 넘는 크기의 내각을 갖지 않는 단순한 다각형을 볼록한 다각형이라 한다. 볼록하지 않은 단순한 다각형은 오목한 다각형이라고 한다.
  • 모든 변의 길이가 같은 다각형을 등변다각형이라 한다. (변이 다섯 개 이상일 경우 볼록하지 않거나 심지어 단순하지 않은 다각형도 등변다각형이 될 수 있다.)
  • 모든 꼭지점이 한 원 위에 있는 볼록한 다각형을 원에 내접하는 다각형이라 한다.

다각형의 성질[편집]

여기서부터는 유클리드 기하를 가정한다.

자유도[편집]

n각형의 자유도는 2n 이다. 그 중 2는 위치를, 1은 놓여 있는 방향을, 1은 전체적인 크기를 결정하며 나머지 2n−4 가 모양을 결정한다.

다각형에 선대칭성이 있을 경우 모양에 대한 자유도가 n−2 로 줄어든다. 일반적으로 k 를 2 이상의 정수라고 하면 k겹(k-fold) 회전대칭성(Ck)을 갖는 nk각형의 모양에 대한 자유도는 2n−2 이다. 여기에 선대칭성이 추가된 경우(Dk)에는 n−1 이다.

[편집]

정다각형이건 아니건, 단순하건 단순하지 않건, 다각형은 변의 수만큼의 을 갖는다. 단순한 n각형의 내각(다각형 내부에 있는 각)의 합은 π(n−2) 라디안(혹은 180°(n−2))이다. 따라서 정n각형의 한 내각의 크기는 π(n−2)/n 라디안(혹은 180°(n−2)/n, 혹은 (n−2)/(2n) 회전)이다. 이것은 다음과 같이 두 가지 방법으로 이해할 수 있다.

  • 예를 들어 자전거를 몰고 단순한 n각형을 따라 움직인다고 가정해 보자. 그러면 각 꼭지점에서 180°에서 내각을 뺀 만큼 방향을 "틀어야" 할 것이다. 그 n각형을 완전히 돌고 나면 자전거 자신도 완전히 한 바퀴를 돈 것이므로 각 꼭지점에서 튼 각도의 합은 360°가 되어야 하며, 이것으로부터 위의 식을 쉽게 얻을 수 있다. 180°가 넘는 크기의 내각이 있는 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있다. 다각형을 따라 반시계방향으로 돈다고 하면 보통은 왼쪽으로 방향을 틀어야 하지만 내각의 크기가 180°가 넘는 꼭지점에서는 오른쪽으로 방향을 틀어야 하며, 이것을 음수로 계산하면 역시 같은 식을 얻을 수 있다.
  • 단순한 n각형은 (n−2)개의 삼각형을 짜맞추어 만들 수 있으며, 각각의 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°인 것으로부터 위의 식을 얻을 수도 있다.

(단순할 필요가 없는) 일반적인 n각형을 따라 움직이는 경우 각 꼭지점에서 방향을 튼 각도의 합은 360°의 정수배가 된다. 예를 들어 오각별에서는 720°, 각진 8자 모양에서는 0°이다. 궤도 항목도 참고.

넓이[편집]

직교 좌표계에서 각 꼭지점의 좌표가 그 내부를 반시계방향으로 도는 순서대로 (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)로 주어져 있는 단순한 다각형의 넓이 A 는 다음과 같이 계산할 수 있다.


\begin{align}
A &= {1 \over 2} \left ( x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \cdots + x_n y_1 - x_1 y_n \right ) \\
  &= {1 \over 2} \left \{ x_1 ( y_2 - y_n ) + x_2 ( y_3 - y_1 ) + \cdots + x_n ( y_1 - y_{n-1} ) \right \} 
\end{align}

이 공식은 1769년 마이스터가, 그리고 1795년 가우스가 사용하였다. 이 공식은 다각형을 삼각형들로 나누어 생각함으로써 증명할 수 있으나, 그린 정리의 특수한 경우로 볼 수도 있다.

다각형의 꼭지점이 간격이 일정한 격자의 격자점에만 놓여 있는 경우, 픽의 정리를 사용하면 다각형 내부와 경계에 있는 점의 개수를 가지고 간단하게 넓이를 구할 수 있다.

두 다각형의 넓이가 같으면, 언제나 그 중 하나를 몇 개의 다각형으로 자르고 그 조각들을 다시 맞춤으로써 다른 하나와 같은 모양을 만들 수 있다. 이것을 볼야이와 거윈의 정리(Bolyai-Gerwien theorem)라 한다.

각 변의 길이가 s 인 정n각형의 넓이는 A = {1 \over 2} n s^2 \sin \left ( {2 \pi \over n} \right ) 이다.

내접 다각형[편집]

원 또는 다각형 위에 내접하는 다각형으로, 모든 꼭짓점이 주어진 원 또는 다각형의 둘레 위에 놓여 있다. ≒ 내접형
모든 정다각형, 모든 삼각형, 모든 직사각형은 원에 내접한다.

조건[편집]

N각형의 모든 꼭짓점이 쓰여진, 최소{1 \over [n]}+1개의 삼각형의 외심이 일치하면 N각형은 내접 다각형이다.

증명[편집]

먼저 N각형 N개의 점을 모두 쓰기위해서는 삼각형이 {1 \over [n]}+1개가 되어야 한다.
그리고 그 삼각형들의 외심이 모두 일치한다면, 외심으로부터 각 점들까지의 거리가 같으므로, 내접다각형이 된다.

외접 다각형[편집]

원 또는 다각형 위에 외접하는 다각형으로, 모든 변이 주어진 원의 둘레 또는 다각형의 꼭짓점에 닿는다. ≒ 외접형
모든 정다각형, 모든 삼각형, 모든 정사각형은 원에 외접한다.

조건[편집]

볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면 N각형은 외접다각형이다.

증명[편집]

원 밖의 한 점에서 원으로 그을 수 있는 접선은 2개.
이 때, 점을 A, 접점을 각각 B, C라고 하고, 원의 중심을 O라 하면, ∠OAB = ∠OAC이다.
따라서, 볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면, 이등분선들의 교점을 중심으로하는 한 원에 외점하게 된다.

다각형 내부의 점인지 검사하기[편집]

컴퓨터 그래픽이나 수치기하학에서는 다각형의 각 꼭지점이 주어져 있을 때, 어떤 점이 그 다각형 내부의 점인지 결정해야 하는 경우가 많다.

특수한 경우[편집]

다각형에 대하여 몇 가지 특수한 경우를 말하면 다음과 같다.

  • 이웃하지 않은 두 변이 한 직선 위에 있을 때
  • 변의 길이가 모두 같은 경우(등변다각형)
  • 각의 크기가 모두 같은 경우(등각다각형)

삼각형에서, 등변삼각형이 되는 것과 등각삼각형이 되는 것은 정삼각형으로 동치이다.

사각형에서, 등변사각형은 곧 마름모이며, 등각사각형은 직사각형 또는 네 꼭지점이 직사각형의 꼭지점과 일치하는 "각진 8자" 모양이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]