절두체

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각뿔 절두체의 집합
Pentagonal frustum.svgUsech kvadrat piramid.png
예시: 오각과 사각뿔 절두체
사다리꼴 n개, n각형 2개
모서리 3n
꼭짓점 2n
대칭군 Cnv, [1,n], (*nn)
특성 볼록

기하학에서 절두체(frustum)[1]입체(보통 원뿔이나 각뿔)를 절단하는 하나나 두 평행면 사이의 부분이다. 직 절두체직각뿔을 평행하게 깎은 것 이다.[1]

컴퓨터 그래픽스에서 뷰잉 프러스텀은 스크린에서 볼 수 있는 삼차원 영역이다. 이것은 잘라낸 각뿔으로 만들어진다; 특히, 절두체 컬링은면 검출의 방법이다.

항공 우주 산업에서, 절두체는 (세턴 V 같은) 두 단계의 다단계로켓 간의 깎은 원뿔 형태의 페어링이다.

모든 모서리의 길이를 같게 할 때, 절두체는 고른 각기둥이 된다.

원소, 특별한 경우, 그리고 관련 개념[편집]

사각뿔 절두체
정팔면체는 세 면에 정사면체를 붙여서 삼각 절두체로 만들 수 있다

각 평면의 부분은 절두체의 바닥이나 밑면이다. 축이 있다면, 이것은 원본인 원뿔이나 각뿔의 축이다. 원형 밑면을 가지면 그 절두체는 원형이다; 축이 양 면에 수직하면 이것은 직 절두체이고 아니면 빗 절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면의 평면의 수직거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나는(밑면이 점으로 줄어든) 절두체의 축퇴된 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 부분 그룹이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체를 만든다.

공식[편집]

부피[편집]

정사각뿔의 절두체의 부피 공식은 이집트 제13왕조(약 1850 BC)에 쓰인 모스크바 수학 파피루스라고 불리는 고대 이집트 수학에서 발견되었다:

여기서 ab는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, h는 높이이다. 이집트인들은 깎은 정사각뿔의 부피를 얻는 공식을 알았지만, 모스크바 파피루스에서 주어진 이 공식에 대한 증명은 없다.

원뿔 또는 각뿔 절두체의 부피는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기의 부피를 뺀 것이다:

이 때 B1은 밑면의 넓이이고, B2는 다른 밑면의 넓이이며, h1, h2 는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직거리이다.

다음을 고려하자

부피의 공식은 비례 상수 α/3와 h1h2 세제곱의 차의 곱 만으로 표현할 수 있다.

두 세제곱의 차를 인수분해 해서 ( a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) ) 절두체의 높이 h1h2 = h를 얻을 수 있고 α(h12 + h1h2 + h22)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 B1B2헤론 평균을 얻을 수 있다. 따라서 다른 공식은 다음과 같다:

헤론은 이 식을 도출하는데 주목하고 그 가운데 마이너스 일의 제곱근인 허수와 마주하게 되었다.[2]

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:

여기서 π는 3.14159265...,이고 R1, R2는 두 밑면의 반지름이다.

각뿔 절두체.

밑면이 정n각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:

여기서 a1a2는 두 밑면의 변의 수이다.

표면적[편집]

직원뿔 절두체에 대해서[3]

이고

이 때, R1R2는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, s는 절두체의 모선 길이이다.

밑면이 닯은 n각형인 직 절두체의 표면적은 아래와 같다:

여기서 a1a2는 두 밑면의 변의 갯수이다.

예시[편집]

참조[편집]

1.^ "frustum"이라는 용어는 조각, 단편이라는 뜻을 가지는 라틴어 frustum에서 왔다. 영어 단어는 종종 frustrum으로 철자를 틀리는데, 이 라틴어 단어는 영어 단어 "좌절하다(frustrate)"에 대응한다.[4] 이 두 단어간의 혼동은 매우 오래되었다: 용어에 대한 주의는 Appendix Probi에서도 찾아볼 수 있고, 플라우투스의 작품에도 그에 관한 말장난이 있다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.67
  2. Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]." Princeton University Press. 1998
  3. “Mathwords.com: Frustum”. 2011년 7월 17일에 확인함. 
  4. Clark, John Spencer (1895), 《Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7-8》, Prang Educational Company, 49쪽 .
  5. Fontaine, Michael (2010), 《Funny Words in Plautine Comedy》, Oxford University Press, 117, 154쪽, ISBN 9780195341447 .

외부 링크[편집]