모서리

삼각형의 세 꼭짓점 사이에 있는 세 모서리 AB, BC, CA.
다각형은 모서리로 둘러싸여 있다. 이 정사각형은 4개의 모서리를 가지고 있다.
정육면체와 같은 다면체에서는 모든 모서리가 두 면에 의해 공유된다.
정팔포체의 투영에서 볼 수 있듯이, 4차원 다포체에서는 모든 모서리가 세 개 이상의 면에 의해 공유된다.

기하학에서 모서리(영어: edge) 또는 변은 다각형, 다면체 또는 다포체에서 두 꼭짓점을 연결하는 선분이다.^[1] 다각형에서 모서리는 도형의 경계에 있는 선분이며,^[2] 다면체 또는 더 일반적으로 다포체에서 모서리는 두 면이 만나는 선분이다.^[3] 경계가 아닌, 도형의 내부 또는 외부를 통과하면서 두 꼭짓점을 연결하는 선분은 대각선이라고 부른다.

다각형에서는 각 꼭짓점에서 두 모서리가 만난다. 더 일반적으로, 발린스키 정리에 따르면 d차원 볼록 다포체의 모든 꼭짓점에서는 적어도 d개의 모서리가 만난다.^[4] 마찬가지로, 다면체에서는 정확히 두 개의 2차원 면이 모든 모서리에서 만나며,^[5] 고차원 다포체에서는 세 개 이상의 2차원 면이 모든 모서리에서 만난다.

다면체의 모서리 개수

모든 볼록 다면체의 표면은 다음의 오일러 지표를 가진다.

V-E+F=2,

여기서 V는 꼭짓점의 개수, E는 모서리의 개수, F는 면의 개수이다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 모서리의 개수는 꼭짓점과 면의 개수의 합보다 2가 적다. 예를 들어, 정육면체는 8개의 꼭짓점과 6개의 면을 가지므로 12개의 모서리를 가진다.

그래프의 모서리

그래프 이론에서 모서리는 그래프의 두 꼭짓점을 연결하는 추상적인 객체이며, 기하학적 대상인 다각형 및 다면체의 선분으로서의 모서리와는 구별된다.

그러나 두 개념은 서로 관련이 있는데, 모든 다면체는 다면체의 꼭짓점을 그래프의 꼭짓점으로 하고 다면체의 모서리를 그래프의 모서리로 하는 그래프에 대응시킬 수 있다.^[6] 한편 반대로 3차원 다면체의 그래프는 슈타이니츠 정리에 의해 정확히 3-연결 평면 그래프로 특징지어질 수 있다.^[7]

각주

↑ Ziegler, Günter M. (1995), 《Lectures on Polytopes》, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657 .
↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge". From Wolfram MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge". From Wolfram MathWorld.
↑ Balinski, M. L. (1961), “On the graph structure of convex polyhedra in n-space”, 《Pacific Journal of Mathematics》 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765 .
↑ Wenninger, Magnus J. (1974), 《Polyhedron Models》, Cambridge University Press, 1쪽, ISBN 9780521098595 .
↑ Senechal, Marjorie (2013), 《Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination》, Springer, 81쪽, ISBN 9780387927145 .
↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), 〈Bridges between geometry and graph theory〉, Gorini, Catherine A. (편집), 《Geometry at work》, MAA Notes 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, 174–194쪽, MR 1782654 . See in particular Theorem 3, p. 176.

[1] Ziegler, Günter M. (1995), 《Lectures on Polytopes》, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657 .

[2] Weisstein, Eric W. "Polygon Edge". From Wolfram MathWorld.

[3] Weisstein, Eric W. "Polytope Edge". From Wolfram MathWorld.

[4] Balinski, M. L. (1961), “On the graph structure of convex polyhedra in n-space”, 《Pacific Journal of Mathematics》 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765 .

[5] Wenninger, Magnus J. (1974), 《Polyhedron Models》, Cambridge University Press, 1쪽, ISBN 9780521098595 .

[6] Senechal, Marjorie (2013), 《Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination》, Springer, 81쪽, ISBN 9780387927145 .

[7] Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), 〈Bridges between geometry and graph theory〉, Gorini, Catherine A. (편집), 《Geometry at work》, MAA Notes 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, 174–194쪽, MR 1782654 . See in particular Theorem 3, p. 176.

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